Afgeleide van veeltermen en machtsfuncties

Inleiding tot differentiëren: Berekenen van afgeleiden

Afgeleide van veeltermen en machtsfuncties

In de vorige paragrafen hebben we gezien hoe we de afgeleide van een functie kunnen berekenen met de definitie van dat begrip. Dat is een heleboel werk. In de praktijk doen we dat daarom niet, maar berekenen we één keer de afgeleide voor standaardfuncties. Ingewikkelder functies kunnen we dan met behulp van deze bekende afgeleiden en rekenregels afleiden. Hier behandelen we de afgeleide van een veeltermfunctie en van een machtsfunctie.

Drie basisregels voor differentiëren

Laat $c$ een reëel getal zijn.

Constantenregel: De afgeleide van de constante functie $f(x)=c$ is $f'(x)=0$ .
Product-met-constante-regel: De afgeleide van het product $c\cdot f(x)$ van de constante $c$ met een functie $f$ is $c\cdot f'(x)$ .
Somregel: Als $f$ en $g$ functies zijn, dan is de afgeleide van de somfunctie $f(x)+g(x)$ gelijk aan $f'(x)+g'(x)$ .

De constantenregel volgt uit:

$\begin{array}{rcl}f'(x)&=&\frac{\dd}{\dd x} c\\&=&\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=&\lim_{h \to 0}\frac{c-c}{h}\\&=&\lim_{h \to 0}0\\&=&0\end{array}$

De product-met-constante-regel volgt uit:

$\begin{array}{rcl}\frac{\dd}{\dd x}\left(c\cdot f(x)\right)&=&\lim_{h \to 0} \frac{c\cdot f(x+h)-c\cdot f(x)}{h}\\&=&\lim_{h \to 0}c\cdot\frac{ f(x+h)- f(x)}{h}\\&=&c\cdot\lim_{h \to 0}\frac{ f(x+h)- f(x)}{h}\\&=&c\cdot f'(x)\end{array}$

De somregel volgt uit:

$\begin{array}{rcl}\frac{\dd}{\dd x}\left(f(x)+g(x)\right)&=&\lim_{h \to 0} \frac{ f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}\\&=&\lim_{h\to0}\left(\frac{ f(x+h)- f(x)}{h}+\frac{g(x+h)- g(x)}{h}\right)\\&=&f'(x)+g'(x)\end{array}$

Om veeltermen te kunnen differentiëren moeten we de afgeleide van de machtsfuncties $x^n$ , waarbij $n$ een natuurlijk getal is, nog leren kennen. Dit is een speciaal geval van de regel hieronder, die de afgeleide van alle reële machtsfuncties behandelt.

Machtregel voor differentiatie

Als $a$ een reëel getal is, dan is de afgeleide van de functie $x^a$ gelijk aan $ax^{a-1}$ . Met andere woorden: $\frac{\dd}{{\dd}x}x^a = ax^{a-1}$ .

Voor $a=0$ is $x^a$ een constante functie, waarvan al bekend is dat de afgeleide gelijk is aan $0$ .

We geven een bewijs van de formule voor het geval $a=n$ een natuurlijk getal is, waarbij we het binomium van Newton gebruiken:

$\begin{array}{rcl} \dfrac{(x+h)^n-x^n}{h} &=&\dfrac{x^n+nhx^{n-1} +\frac{n\cdot(n-1)}{2}h^2x^{n-2} + \cdots + nh^{n-1}x+h^n-x^n}{h} \\ &=&\dfrac{nhx^{n-1} +\frac{n\cdot(n-1)}{2}h^2x^{n-2} +\cdots + nh^{n-1}x+h^n}{h}\\ &=&nx^{n-1} + h\cdot \left({\frac{n\cdot(n-1)}{2}x^{n-2} + \cdots + nh^{n-3}x+h^{n-2}}\right)\end{array}$ Als we hiervan de limiet voor $h$ naar $0$ nemen, dan vinden we:

$nx^{n-1} +\lim_{h\to 0}h\cdot\left({\frac{n\cdot(n-1)}{2}x^{n-2}\cdots + nh^{n-3}x+h^{n-2}}\right)=nx^{n-1}$ Hieruit volgt dat de afgeleide functie gegeven wordt door $\frac{\dd}{\dd x}x^n=nx^{n-1}$ .

Met bovenstaande regel en met de somregel is de afgeleide van elke veeltermfunctie te vinden.

Veeltermregel voor differentiatie

$\frac{\dd}{{\dd}x}\left(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0\right)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1\tiny.$

Hier is een bewijs met inductie naar de graad $n$ van de veelterm $f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0$ :

Als $n=0$ , dan geldt $f(x) =a_0$ . Aangezien de afgeleide van een constante gelijk is aan $0$ , vinden we

$\frac{\dd}{{\dd}x}\left(f(x)\right)=\frac{\dd}{{\dd}x}\left(a_0\right)=0\tiny,$ waaruit we concluderen dat de regel geldt voor $n=0$ .

Stel nu dat $n\gt 0$ . Schrijf $g(x) = a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_0$ . Omdat de graad van $g(x)$ ten hoogste $n-1$ is, geeft de inductiehypothese toegepast op $g(x)$

$\frac{\dd}{{\dd}x}\left(g(x)\right)=(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+(n-2)a_{n-2}x^{n-3}+\cdots+a_1\tiny.$ Met gebruikmaking van deze formule en de somregel voor differentiëren, vinden we

$\begin{array}{rcl} \frac{\dd}{{\dd}x}\left(f(x)\right)&=& \frac{\dd}{{\dd}x}\left(a_nx^{n}\right)+\frac{\dd}{{\dd}x}\left(g(x)\right)\\ &=& \left(na_nx^{n-1}\right)+\left((n-1)a_{n-1}x^{n-2}+(n-2)a_{n-2}x^{n-3}+\cdots+a_1\right)\\ &=& na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1\tiny,\end{array}$ waarmee het bewijs rond is.

Bereken de afgeleide van $f(x)=x^{74}$ .

$f'(x)=$ $74 x^{73}$

$\begin{array}{rcl}f'(x)&=&\dfrac{\dd}{\dd x} x^{74}\\ &=& 74 x^{74-1}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{machtregel voor differentiatie}}\\ &=& 74 x^{73} \end{array}$

Nieuw voorbeeld