Somregel voor differentiëren

Rekenregels voor differentiëren: Rekenregels voor de afgeleide

Somregel voor differentiëren

Tot nu toe hebben we de afgeleide van een aantal standaardfuncties leren kennen. In dit hoofdstuk zullen we kijken naar een aantal rekenregels voor het werken met sommen, producten, quotiënten en samengestelde functies van deze standaardfuncties.

We beginnen met sommen van functies. Bekijk bijvoorbeeld de functie $f(x)=4\cdot x^3+3 \cdot x$ . Met behulp van twee van de drie regels in Drie basisregels voor differentiëren kunnen we de afgeleide $f$ bepalen. Hier geven we een meer algemene regel die de afgeleide in één keer geeft.

Eerst laten we zien wat we met somfunctie bedoelen.

Somfunctie

Laat $f$ en $g$ twee functies zijn en $a$ en $b$ twee getallen. De somfunctie $a\cdot f+b\cdot g$ is de functie die aan $x$ de waarde $(a\cdot f+b\cdot g)(x) = a\cdot f(x) + b\cdot g(x)$ toevoegt. Dus $a\cdot f$ is de functie die aan $x$ de waarde $(a\cdot f)(x) = a \cdot f(x)$ toevoegt.

Als bijvoorbeeld $a =3$ en $f(x) = x^2+1$ , dan voegt de functie $a\cdot f$ aan $x$ de waarde $a\cdot f(x) = 3\cdot(x^2+1)=3x^2+3$ toe.

Om sommen als $a\cdot f+b\cdot g$ te onderscheiden van de som $f+g$ spreekt met wel van lineaire combinaties van $f$ en $g$ .

De uitgebreide somregel voor differentiatie

Laat $a$ en $b$ constanten zijn en $f$ en $g$ differentieerbare functies. De afgeleide van $a\cdot f+b\cdot g$ voldoet aan

$\left(a\cdot f+b\cdot g\right)' = a\cdot f'+b\cdot g'\tiny.$ De regel is uit te breiden tot sommen van meerdere functies. Als $c$ een derde constante is en $h$ een derde differentieerbare functie, dan geldt bijvoorbeeld $\left(a\cdot f+b\cdot g+c\cdot h\right)'=a\cdot f'+b\cdot g'+c\cdot h'\tiny.$

Door toepassing van twee van de Drie basisregels voor differentiëren kunnen we de afgeleide van $a\cdot f+b\cdot g$ als volgt bepalen:

$\begin{array}{rcl}\left(a\cdot f+b\cdot g\right)' &=&\left(a\cdot f\right)'+\left(b\cdot g\right)'\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{somregel voor }a\cdot f \text{ en }b\cdot g}\\&=&a\cdot f' + b\cdot g'\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{product-met-constante regel voor }a\cdot f\text{ en } b\cdot g} \end{array}$

De regel voor meerdere functies volgt door herhaalde toepassing van de regel voor sommen van twee functies.

We kunnen de regel ook rechtstreeks afleiden: het differentiequotiënt van $a\cdot f+b\cdot g$ is gelijk aan

$\begin{array}{rl}&\dfrac{(a\cdot f+b\cdot g)(c+h) -(a\cdot f+b\cdot g)(c)}{h}\\ &= \dfrac{a\cdot f(c+h)+b\cdot g(c+h)-a\cdot f(c)-b\cdot g(c)}{h}\\ & = a\cdot\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h} + b\cdot\dfrac{g(c+h)-g(c)}{h} \end{array}$

Hieruit volgt voor de afgeleide

$\begin{array}{rcl}(a\cdot f+b\cdot g)'(c)&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(a\cdot\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h} + b\cdot\dfrac{g(c+h)-g(c)}{h}\right)\\ & =&\displaystyle a\cdot\lim_{h\to 0} \dfrac{f(c+h)-f(c)}{h} + b\cdot\lim_{h\to 0}\dfrac{g(c+h)-g(c)}{h}\\ &=&\displaystyle a\cdot f'(c)+b\cdot g'(c)\end{array}$

Vanwege de definitie van somfunctie volgt hieruit: $\left(a\cdot f+b\cdot g\right)'(c)= a\cdot f'(c)+b\cdot g'(c)=\left( a\cdot f'+b\cdot g'\right)(c)\tiny.$ Dit betekent dat de functies $\left(a\cdot f+b\cdot g\right)'$ en $a\cdot f'+b\cdot g'$ aan elkaar gelijk zijn.

Met de gegeven regel kan de afgeleide van elke veelterm bepaald worden.

Wat is de afgeleide van de veeltermfunctie $4\cdot x-9\cdot x^5$ ?

$f'(x)=$ $4-45\cdot x^4$

Immers, met behulp van de uitgebreide somregel en de machtregel voor differentiëren vinden we:
$\begin{array}{rcl}\ \frac{\dd}{{\dd}x} (4\cdot x-9\cdot x^5)&=& -9 \cdot \frac{\dd}{{\dd}x}(x^{5})+4 \cdot \frac{\dd}{{\dd}x}(x) \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{uitgebreide somregel}}\\&=& -9\cdot 5 x^{5-1} +4 \cdot 1\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{machtregel}}\\ &=& 4-45\cdot x^4\end{array}$

Nieuw voorbeeld