Quotiëntregel voor differentiëren

Rekenregels voor differentiëren: Rekenregels voor de afgeleide

Quotiëntregel voor differentiëren

Laat $f$ en $g$ functies zijn. De quotiëntfunctie $\dfrac{f}{g}$ is de functie die aan $x$ de waarde $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ toevoegt.

Bijvoorbeeld, als $f(x)=x+1$ en $g(x)=x^3+1$ , dan heeft de quotiëntfunctie $\frac{f}{g}$ functievoorschrift

$\frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x+1}{x^3+1}\tiny.$

De volgende regel bepaalt de afgeleide van een quotiëntfunctie. We brengen in herinnering dat $g^2$ voor een functie $g$ de productfunctie $g\cdot g$ voorstelt.

Quotiëntregel voor differentiatie

Laat $f$ en $g$ differentieerbare functies zijn. De afgeleide van $\dfrac{f}{g}$ is $\dfrac{f'\cdot g-g'\cdot f}{g^2}$ , zodat $\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x) = \dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\tiny.$

Laat $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ . We willen we bewijzen dat $h'(x)=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}$ .

We gebruiken de definitie van $h$ in de vorm $f(x)=g(x) \cdot h(x)$ . De productregel zegt dan dat $f'(x)=g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$ . Dit betekent dat: $h'(x)=\frac{f'(x)-g'(x)\cdot h(x)}{g(x)}$ .

Aangezien $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ geldt nu $h'(x)=\frac{f'(x) \cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{g^2(x)}$ .

Dus $h'(x)=\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x) \cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}$ .

Bepaal de afgeleide van de functie $\dfrac{f}{g}$ als $f(x) = x^2+7\cdot x-2$ en $g(x) = 4\cdot x-1$ .

${{4\cdot x^2-2\cdot x+1}\over{16\cdot x^2-8\cdot x+1}}$

Omdat $f'(x) = 2x+7$ en $g'(x) = 4$ geeft de quotiëntregel voor differentiatie $\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\dfrac{f}{g}(x)\right) &=& \dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}\\ &=& \dfrac{(2x+7)\cdot (4\cdot x-1)-(x^2+7\cdot x-2)\cdot 4}{(4\cdot x-1)^2}\\ & =& \displaystyle {{4\cdot x^2-2\cdot x+1}\over{16\cdot x^2-8\cdot x+1}} \end{array}$

Nieuw voorbeeld