Raaklijnen herbekeken

Rekenregels voor differentiëren: Toepassingen van de afgeleide

Raaklijnen herbekeken

Bij de introductie (zie inleiding en het begrip differentiequotiënt) van differentiëren startten we met de vraag: kunnen we de helling van een raaklijn vinden? Nu weten we hoe we dat doen moeten. Dit zorgt ervoor dat we de raaklijn zelf kunnen berekenen.

Laat $f$ een functie zijn die differentieerbaar is in $a$ . De raaklijn aan $f$ in $a$ is wordt gegeven door de lineaire vergelijking $y-f(a)=f'(a)\cdot (x-a)\tiny.$

Het punt $\rv{x,y}=\rv{a,f(a)}$ is een oplossing van de lineaire vergelijking. Dit betekent dat $\rv{a,f(a)}$ op de lijn ligt.

Verder is de helling $f'(a)$ van $f$ in $a$ gelijk aan de helling van deze lijn. De lijn is dus de unieke rechte door $\rv{a,f(a)}$ met helling $f'(a)$ . Dit betekent dat het de raaklijn aan $f$ in $a$ is.

Het is niet nodig deze formule voor de raaklijn te onthouden. Het is van belang te weten dat het de unieke lijn is door het punt $\rv{a,f(a)}$ met richtingscoëfficiënt $f'(a)$ .

Dit geeft een methode om de raaklijn te berekenen.

In de figuur hieronder zijn de grafiek $f(x)={{x^2}\over{4}}+3$ en de raaklijn aan $f$ in punt $\rv{3,{{21}\over{4}}}$ getekend.

Stel het functievoorschrift $l(x)$ van de raaklijn in het punt $\rv{3,{{21}\over{4}}}$ op. Voer je antwoord in in de vorm $a\cdot x+b$ voor gepaste waarden van $a$ en $b$ .

$l(x)=$ ${{3\cdot x}\over{2}}+{{3}\over{4}}$

Het gevraagde functievoorschrift heeft de vorm $l(x)=a\cdot x+b$ , waarbij $a$ en $b$ reële getallen zijn.

Het getal $a$ is de helling van de raaklijn, dus $a=f'(3)$ . De afgeleide van de functie $f$ is gelijk aan $f'(x)={{x}\over{2}}$ , zodat $a=f'(3)={{3}\over{2}}$ .

Het functievoorschrift van de raaklijn ziet er dus uit als: $l(x)={{3}\over{2}} \cdot x +b$ , waarbij alleen $b$ nog berekend moet worden. Dit doen we door het feit te gebruiken dat de raaklijn gaat door het punt $\rv{3,{{21}\over{4}}}$ . Dit betekent dat ${{21}\over{4}}={{3}\over{2}} \cdot 3 +b$ en dus dat $b={{21}\over{4}}-{{9}\over{2}} = {{3}\over{4}}$ . De formule voor de raaklijn is dus: $l(x)={{3\cdot x}\over{2}}+{{3}\over{4}}$ .

Nieuw voorbeeld