Als $f$ injectief is, dan heeft de vergelijking $y=f(x)$ met onbekende $x$ precies één oplossing als $y$ in het bereik van $f$ ligt en géén oplossing als dat niet het geval is. Dit betekent dat de functie $g$ met domein gelijk aan het bereik van $f$ en met voorschrift $$g(y)\text{ is de unieke oplossing }x\text{ van }y=f(x)$$ de inverse van $f$ is.

Andersom: stel dat $g$ de inverse van $f$ is, en dat $x_1$ en $x_2$ getallen in het domein van $f$ zijn met $f(x_1)=f(x_2)$. Dan moet gelden $x_1=g(f(x_1)=g(f(x_2))= x_2$, ofwel: $x_1=x_2$. Dit laat zien dat $f$ injectief is.

De functie $f(x)=x^2$ is hieronder aan de linkerkant afgebeeld en de gespiegelde rechts. Het is duidelijk dat de twee criteria gelijk zijn: Links zijn er horizontale lijnen die de grafiek in twee punten snijden. De functie $f$ is dus niet injectief. Rechts zijn er verticale lijnen die de grafiek in twee punten snijden. Deze grafiek behoort dus niet bij een functie; maar het zou de grafiek van de inverse functie moeten zijn; dit laat zien dat $f$ geen inverse heeft.