Schalen van functies

Bewerkingen met functies: Nieuwe functies uit oude

Schalen van functies

We gaan nu het vergroten of verkleinen van een grafiek in horizontale of verticale richting bestuderen.

Verticale verschalen

Laat $a$ een reëel getal zijn, ongelijk aan $0$ . Verticaal verschalen met $a$ verplaatst het punt $\rv{x,y}$ in het vlak naar $\rv{x,a\cdot y}$ .

Onder verticale verschaling met $a$ wordt de grafiek van een functie $f$ omgezet in de grafiek van $a\cdot f$ , dat wil zeggen: de functie van $x$ met functievoorschrift $a\cdot f(x)$ .

De grafiek van $f$ bestaat uit alle punten van de vorm $\rv{x,f(x)}$ . Door verschaling met $a$ worden deze punten omgezet naar $\rv{x,a\cdot f(x)}$ , die inderdaad behoren tot de grafiek van de functie $a\cdot f$ .

De punten van het vlak worden verticaal uitgerekt als $a\gt0$ en krimpen verticaal als $a\lt0$ . In het geval $a\lt0$ zal de grafiek ook gespiegeld worden in de $x$ -as (de ontstane grafiek zal de weerspiegeling zijn van $f$ in de $x$ -as). De ligging van de nulpunten van de functie $f$ zullen dezelfde zijn als de locatie van de minima en/of maxima die alleen zal veranderen in termen van $y$ met de factor $a$ .

De volgende gegevens kunnen worden waargenomen in de bovenstaande grafieken:

De grafiek van $f$ is de vierkantswortel van $\sqrt{x+1}$ met nulpunt $x=-1$ en een minimum bij $f(-1)=0$ .
De grafiek van $h$ is de vierkantswortel van $\sqrt{x+1}$ vermenigvuldigd met $\frac{1}{2}$ met nulpunt $x=-1$ en een minimum bij $f(-1)=0$ .
De grafiek van $g$ is de vierkantswortel van $\sqrt{x+1}$ vermenigvuldigd met $2$ met nulpunt $x=-1$ en een minimum bij $f(-1)=0$ .

De volgende gegevens kunnen worden waargenomen in de bovenstaande grafieken:

De grafiek van $f$ is de vierkantswortel van $\sqrt{x+1}$ met nulpunt $x=-1$ en een minimum bij $f(-1)=0$ .
De grafiek van $h$ is de vierkantswortel van $\sqrt{x+1}$ vermenigvuldigd met $-\frac{1}{2}$ met nulpunt $x=-1$ en een maximum bij $f(-1)=0$ .
De grafiek van $g$ is de vierkantswortel van $\sqrt{x+1}$ vermenigvuldigd met $-2$ met nulpunt $x=-1$ en een maximum bij $f(-1)=0$ .

Horizontaal verschalen

Laat $a$ een reëel getal zijn, ongelijk aan $0$ . Horizontaal verschalen met $a$ verplaatst het punt $\rv{x,y}$ van het vlak naar $\rv{a\cdot x,y}$ .

Onder horizontale verschaling met $a$ wordt de grafiek van een functie $f$ omgezet in de grafiek van de functie met functievoorschrift $f\left(\frac{x}{a}\right)$ .

Als we stellen dat $x_1=a\cdot x$ , hebben we $\rv{a\cdot x,f(x)}=\rv{x_1,f\left(\frac{x_1}{a}\right)}$ . Dit toont aan dat het functievoorschrift van de functie waarvan de grafiek wordt verkregen door de horizontale verschaling van de grafiek van $f$ gelijk is aan $f\left(\frac{x_1}{a}\right)$ .

De functie $f$ is horizontaal gekrompen met een factor $\frac{1}{a}$ als $a\gt1$ of $a\lt-1$ en horizontaal uitgerekt met een factor $a$ met $a\neq 0$ als $-1\lt a\lt 1$ .

In het geval $a\lt0$ , zal de grafiek ook flip om de $y$ -as spiegelen (de ontstane grafiek zal weerspiegeling zijn van $f$ in de $y$ -as). De ligging van de nulpunten van de functie $f$ en de locatie van de minima en/of maxima veranderen, terwijl de minima en/of maxima in termen van $y$ hetzelfde blijven.

Het is mogelijk om de volgende feiten waar te nemen uit de bovenstaande grafieken:

De grafiek van $f$ is de vierkantswortel van $\sqrt{x+1}$ met nulpunt $x=-1$ en een minimum bij $f(-1)=0$ .
De grafiek van $h$ is de vierkantswortel van $\sqrt{\frac{1}{2}x+1}$ met nulpunt $x=-2$ en een minimum bij $f(-2)=0$ .
De grafiek van $g$ is de vierkantswortel van $2x+1$ met nulpunt $x=-\frac{1}{2}$ en een minimum bij $f(-\frac{1}{2})=0$ .

Het is mogelijk om de volgende feiten waar te nemen uit de bovenstaande grafieken:

De grafiek van $f$ is de vierkantswortel van $\sqrt{x+1}$ met nulpunt $x=-1$ en een minimum bij $f(-1)=0$ .
De grafiek van $h$ is de vierkantswortel van $-\sqrt{\frac{1}{2}x+1}$ met nulpunt $x=2$ en een minimum bij $f(2)=0$ .
De grafiek van $g$ is de vierkantswortel van $-2x+1$ met nulpunt $x=\frac{1}{2}$ en een minimum bij $f(\frac{1}{2})=0$ .

Neem aan dat $f(x)= \sqrt{x^2-5}$ . Hieronder staan de grafieken van $f$ , en de verticale en de horizontale verschaling met $2$ getekend.

Welke grafiek hoort bij welke verschaling?

De grafiek van $f$ is blauw.
De verticale verschaling van de grafiek hoort bij de functie $2\cdot f(x) = 2\cdot\left(\sqrt{x^2-5}\right)$ $=2\cdot \sqrt{x^2-5}$ en is rood.
De horizontale verschaling hoort bij de functie $f\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{{{x^2}\over{4}}-5}$ $={{\sqrt{x^2-20}}\over{2}}$ en is groen.

Nieuw voorbeeld