Kwadraatafsplitsen

Functies: Kwadratische functies

Kwadraatafsplitsen

Een vergelijking als $\left(x+2\right)^2=3$ kunnen we eenvoudig oplossen door worteltrekken.

Los $x$ op in $\left(x+2\right)^2={{9}\over{4}}$ .

$x=-2\pm {{3}\over{2}}$

Dit kun je zien door

aan beide kanten van het $=$ teken wortel te trekken: $x+2=\pm {{3}\over{2}}$ ;
dan de vergelijking verder op te lossen door aan beide kanten van het $=$ teken $2$ af te trekken: $x=-2\pm {{3}\over{2}}$ .

Dat lukt niet voor een algemene kwadratische vergelijking als $x^2+8x-1=0$ , omdat de onbekende $x$ tweemaal voorkomt. Maar er is een methode om de eerste vorm uit de tweede te destilleren:

Kwadraatafsplitsen

Kwadraatafsplitsen is het herschrijven van een kwadratische uitdrukking in $x$ tot een uitdrukking waarin $x$ maar één keer voorkomt, en wel in het grondtal van een tweede macht. Om precies te zijn, als $a$ , $b$ en $c$ reële getallen zijn, dan geldt $ax^2+bx+c=a\cdot\left( \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{(2a)^2}\right)\tiny.$

Deze herschrijving gaat als volgt:

$\begin{array}{rcl}ax^2+bx+c &=& a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c \\ &=&a\cdot\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c \\ &=&a\cdot \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right) \\ &=&a\cdot \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right) \\ &=&a\cdot \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}\right) \\ &=&a\cdot \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) \\ \end{array}$

Met deze methode kunnen we niet alleen kwadratische vergelijkingen oplossen, maar ook vaststellen wat de top van een parabool is:

Het extreme punt van een kwadratische functie

De kwadratische veelterm $ax^2+bx+c$ , waarbij $a\ne0$ , is te schrijven als $a\cdot\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a}\tiny.$

In het bijzonder is $\rv{- \frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}}$ een extreem punt:

Als $a\gt0$ , dan is het extreme punt het dieptepunt van de dalparabool.
Als $a\lt0$ , dan is het extreme punt het hoogtepunt van de bergparabool.

Met andere woorden: de kwadratische functie $ax^2+bx+c$ in $x$ heeft een minimum of maximum (naar gelang $a\gt0$ of $a\lt0$ ) voor $x =- \dfrac{b}{2a}$ , dat $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ groot is.

In het extreme punt is de eerste term van het resultaat van kwadraatafsplitsing gelijk aan $0$ . Dat is dan en slechts dan het geval als $x+\frac{b}{2a}=0$ , dat wil zeggen: als $x=-\frac{b}{2a}$ . Dit verklaart waarom het extreme punt $x$ -coördinaat $x=-\frac{b}{2a}$ heeft.
Als $a\gt0$ , dan is $a\cdot\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ altijd groter dan of gelijk aan $0$ en hebben we met een minimum te maken.
Als $a\gt0$ , dan is $a\cdot\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ altijd kleiner dan of gelijk aan $0$ en hebben we met een maximum te maken.
De bijbehorende waarde voor $y$ is gelijk aan de tweede term van het resultaat van kwadraatafsplitsing: $y=-\frac{b^2-4ac}{4a}$ .

Los $x$ op met behulp van kwadraatafsplitsen in de vergelijking

$x^2+8 x-4=0$

Geef je antwoord in de vorm $x=x_1\lor x=x_2$ , waarbij $x_1$ en $x_2$ exacte antwoorden zijn.

$x=2\cdot \sqrt{5}-4\lor x=-2\cdot \sqrt{5}-4$

$\begin{array}{rcl} x^2+8 x-4&=&0\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\ (x+4)^2-4^2-4&=&0\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{van }x^2+8x\text{ kwadraat afgesplitst}}\\ (x+4)^2&=&4^2+4\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{alles buiten de haakjes naar de rechter kant gebracht}}\\ (x+4)^2&=&20\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{rechter lid vereenvoudigd}}\\ x+4=\sqrt{20} &\lor&x+4=-\sqrt{20}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{aan beide kanten wortel getrokken}}\\ x=2\cdot \sqrt{5}-4&\lor& x=-2\cdot \sqrt{5}-4\\ &&\phantom{xxx}\blue{4 \text{ aan beide kanten afgetrokken}}\\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld