De vergelijking van een lijn

Functies: Lijnen en lineaire functies

De vergelijking van een lijn

Stel dat $a$ , $b$ en $c$ vast gekozen reële getallen zijn: parameters.

Lijn

De oplossing van de vergelijking $a\cdot x+b\cdot y+c=0$ kun je in het platte vlak tekenen. Ze bestaat uit alle punten $\rv{x,y}$ die voldoen aan $a\cdot x+b\cdot y+c=0$ . Als $a\ne0$ of $b\ne0$ , dan vormen ze een rechte lijn, kortweg lijn.

Als , dan kunnen we de vergelijking schrijven als . Immers, dit zijn de oplossingen als we als parameter beschouwen en als onbekende. Het geeft aan dat er voor elke waarde van een punt met gelijk aan .
- Als $a \ne 0$ is sprake van een scheve lijn (dat wil zeggen: noch verticaal noch horizontaal).
- Als $a=0$ , dan is de waarde van $y$ overal gelijk aan $-\frac{c}{b}$ , en is sprake van een horizontale lijn.
In het uitzonderingsgeval ziet de vergelijking er uit als .
- Als $a \ne 0$ is sprake van een verticale lijn.
- Als en
  - $c\ne 0$ dan zijn er geen oplossingen;
  - $c=0$ dan is elke waarde voor $x$ en elke waarde voor $y$ een oplossing.

Vier manieren om een lijn te beschrijven

Een rechte lijn is op verschillende manieren te beschrijven.

De oplossingen $\rv{x,y}$ van een vergelijking $a\cdot x+b\cdot y+c=0$ met onbekenden $x$ en $y$ . Hier zijn, $a$ , $b$ , $c$ reële getallen, zo dat $a$ en $b$ niet beide nul zijn.
De lijn door twee gegeven punten in het vlak; als $P=\rv{p,q}$ en $Q=\rv{s,t}$ punten in het vlak zijn, dan heeft de lijn door $P$ en $Q$ vergelijking $a\cdot x+b\cdot y+c=0$ met $a=q-t$ , $b=s-p$ en $c=t\cdot p-q\cdot s$ .
De lijn door een gegeven punt, het steunpunt, en een richting, die aangegeven wordt door het getal $-\frac{a}{b}$ , waarbij $a$ en $b$ komen uit de boven gegeven vergelijking; dit getal heet de richtingscoëfficiënt of helling van de lijn.
De lijn met functievoorstelling $y = p\cdot x+q$ als $b\ne0$ en $x=r$ anders; hierbij zijn $p=-\frac{a}{b}$ (de richtingscoëfficiënt), $q = -\frac{c}{b}$ en $r = -\frac{c}{a}$ in termen van bovenstaande $a$ , $b$ en $c$ . In het geval $b\ne0$ is $y$ een functie van $x$ , in het andere geval is $x$ een constante functie van $y$ .

De eerste beschrijving, door middel van de vergelijking $ax+by+c=0$ , is op te vatten als de definitie van een lijn.

De tweede beschrijving is meetkundig voor de hand liggend, omdat door elk tweetal punten $P=\rv{p,q}$ en $Q=\rv{s,t}$ een unieke lijn gaat. Invullen van $\rv{x,y}=\rv{p,q}$ in de vergelijking $(q-t)\cdot x +(s-p)\cdot y +(t\cdot p-q\cdot s) = 0$ laat zien dat $P$ een oplossing is, en net zo voor $Q$ .

De derde beschrijving is ook natuurlijk uit meetkundig oogpunt omdat een lijn uniek bepaald wordt als de richting bekend is en een punt waar de lijn doorheen gaat. Als $P=\rv{p,q}$ het punt is en $r$ de richtingscoëfficiënt, dan wordt de lijn gegeven door de vergelijking $a\cdot x+b\cdot y+c=0$ met $a=-r$ , $b=1$ en $c=r\cdot p-q$ . Met andere woorden: de vergelijking van de lijn wordt gegeven door de punt-helling formule $y-q=r\cdot(x-p)\tiny.$

De vierde beschrijving is op te vatten als de oplossing van de vergelijking $a\cdot x+b\cdot y+c=0$ met onbekende $y$ .

Het lijnsegment tussen de punten $\rv{-6,{{137}\over{18}}}$ en $\rv{-4,{{46}\over{9}}}$ is getekend in onderstaande figuur.

Geef het functievoorschrift van deze lijn in de vorm $y=a\cdot x+b$ .

$y=-{{5}\over{4}} x+{{1}\over{9}}$

De lijn wordt beschreven door de vergelijking $y=ax+b$ , waarbij $a$ de richtingscoëfficiënt is. De richtingscoëfficiënt is het quotiënt van het verschil van de $y$ -waarden met het verschil van de $x$ -waarden van de twee punten op de lijn. Dus $a=\frac{{{46}\over{9}}-{{137}\over{18}}}{-4+6}=-{{5}\over{4}}$ . Het getal $b$ volgt uit $b=y-ax$ , waarbij $[x,y]$ een willekeurig punt op de lijn is. Dus $b={{137}\over{18}}+{{5}\over{4}}\cdot(-6)={{1}\over{9}}$ .

Nieuw voorbeeld