Stelsels vergelijkingen oplossen door vegen

Functies: Lijnen en lineaire functies

Stelsels vergelijkingen oplossen door vegen

Een algemene methode om twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden op te lossen is door één onbekende te elimineren. Hier bespreken we een methode die ook geschikt is voor grote stelsels lineaire vergelijkingen, met meer variabelen.

Het doel is de eerste vergelijking de vorm $x=a$ te geven en de tweede vergelijking de vorm $y=b$ .

De strategie is om de vergelijkingen zodanig te bewerken dat

het nieuwe systeem equivalent is aan het oude;
het nieuwe systeem meer op een oplossing lijkt dan het oude.

Stappen die hierbij voorkomen zijn vermenigvuldiging van alle termen uit dezelfde vergelijking met hetzelfde getal ongelijk aan $0$ en het aftrekken van één vergelijking van een andere.

Veegmethode voor lineaire vergelijkingen

Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met onbekenden $x$ en $y$ kan als volgt opgelost worden.

Zorg ervoor dat $x$ in de eerste vergelijking voorkomt: als dit niet het geval is, dan verwisselen we de twee vergelijkingen van plaats; op deze manier komt $x$ in de eerste vergelijking voor.
Vervang de tweede vergelijking door het verschil van deze vergelijking met een geschikt gekozen veelvoud van de eerste vergelijking, zodat $x$ niet meer voorkomt in de tweede vergelijking.
Vervang de eerste vergelijking door het verschil van deze vergelijking met een geschikt veelvoud van de tweede vergelijking, zodat $y$ niet meer in de eerste vergelijking voorkomt.
De eerste vergelijking is nu een lineaire vergelijking met $x$ als enige onbekende en de tweede is een lineaire vergelijking met $y$ als enige onbekende. Deze vergelijkingen zijn op te lossen met de theorie van Lineaire vergelijkingen met één onbekende.

Van het stelsel wordt aangenomen dat $x$ en $y$ echt voorkomen in het stelsel.

Als alleen $x$ voorkomt, dan hebben we te maken met een stel vergelijkingen met één onbekende, dat al eerder besproken is. Voor elke oplossing $x=a$ van dat stelsel, en elk reëel getal $b$ is $x-a\land y=b$ een oplossing van het stelsel (en dit zijn alle oplossingen).
Als alleen $y$ voorkomt, dan gelden dezelfde opmerkingen met $x$ en $y$ verwisseld.
Als $x$ en $y$ beide niet voorkomen, dan is elk paar $\rv{x,y}$ een oplossing als alle vergelijkingen waar zijn (denk aan $0=0$ ) en geen enkel paar een oplossing als ten minste één van de vergelijkingen een tegenspraak vormt (denk aan $0=1$ ).

Vegen

Deze methode staat bekend als vegen.

Immers, je gebruikt steeds één vergelijking om een ander schoner te vegen.

Het kan zo zijn dat na de tweede stap de tweede vergelijking een waarheid (als $0=0$ ) of tegenspraak (als $0=1$ ) wordt doordat niet alleen $x$ maar ook $y$ verdwijnt. In dat geval is de oplossing een lijn gegeven door de eerste vergelijking.

Los het volgende stelsel vergelijkingen met onbekenden $x$ en $y$ op.

${\lineqs{ 8 x+9 y -1 &=& 0 \cr x +y -2 &=& 0 \cr}}$ Geef het antwoord in de vorm $x=a\land y=b$ voor de goede waarden van $a$ en $b$ .

$x= 17\land y = -15$

Er zijn vele manieren om tot deze oplossing te komen. We beschrijven er één van.

Om ervoor te zorgen dat de onbekende $x$ in de eerste vergelijking voorkomt, verwisselen we de twee vergelijkingen als dat bij het oorspronkelijke stel niet het geval was: $8\cdot x+9\cdot y-1=0\land x+y-2=0$ .
Vervolgens werken we de term met $x$ weg uit de tweede vergelijking door de eerste vergelijking met $\frac{1}{8}$ te vermenigvuldigen en van de tweede af te trekken: $8\cdot x+9\cdot y-1=0\land -{{y}\over{8}}=0$ .
Door (links en rechts in) de tweede vergelijking door $-{{1}\over{8}}$ te delen vinden we $y=-15$ . We hebben nu het stel $8\cdot x+9\cdot y-1=0\land y=-15$ .
Vullen we de oplossing van $y$ (de tweede vergelijking) in in de eerste vergelijking (of anders gezegd: trekken we $9$ maal de tweede vergelijking van de eerste af), dan vinden we het stelsel: $8\cdot x-136=0\land y=-15$ .
De eerste vergelijking kan opgelost worden als besproken in Oplossen door herleiding van een lineaire vergelijking met één onbekende. Het resultaat is $x= 17\land y = -15$ .

Nieuw voorbeeld