Rekenkundige bewerkingen voor functies

Functies: Inleiding tot functies

Rekenkundige bewerkingen voor functies

We bespreken vijf methoden om uit twee reële functies een nieuwe reële functie te maken.

Rekenkundige operaties op functies

Laat $f$ en $g$ reëelwaardige functies zijn met hetzelfde domein en laat $a$ een reëel getal zijn. Dan definiëren we

de somfunctie $f+g$ door het functievoorschrift $(f+g)(x) = f(x)+g(x)$ ;
de geschaalde functie $a\cdot f$ door het functievoorschrift $(a\cdot f)(x) = a\cdot{f(x)}$ ;
de verschilfunctie $f-g$ als de functie $f+(-1)\cdot g$ ;
de productfunctie $f\cdot g$ door het functievoorschrift $(f\cdot g)(x) = f(x)\cdot g(x)$ ;
de quotiëntfunctie $\frac{f}{g}$ door het functievoorschrift $\frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ .

Omdat ze alle vijf bepaald worden door rekenkundige bewerkingen van waarden van de betrokken functie, noemen we deze bewerkingen rekenkundig.

Als $a$ een getal is en $f$ een functie, dan heeft de functie $a\cdot f$ de waarde $a\cdot f(x)$ in $x$ . Als we $a$ als de constante functie zien (die de waarde $a$ aan elke $x$ toekent, dus $a(x) = a$ ), dan geldt $(a\cdot f) (x) = a \cdot f(x)$ . Er is hier dus geen verwarring tussen de twee interpretaties van $a$ .

Een bijzonder geval van de quotiëntfunctie is $\dfrac{1}{f}$ , de functie die bepaald wordt door $\dfrac{1}{f} (x)= \dfrac{1}{f(x)} = f(x)^{-1}$ . Het is gevaarlijk om hiervoor $f^{-1}$ te schrijven, omdat deze notatie vaak gebruikt wordt voor de inverse functie van $f$ die we later definiëren.

Drie soorten speciale functies

Laat $a$ een reëel getal zijn. De functie $C_a$ met voorschrift $C_a(x)=a$ heet de constante functie $a$ . Als $f$ een functie is, dan is $C_a\cdot f = a \cdot f$ . Immers, $(C_a\cdot f)(x)= C_a(x)\cdot f(x) = a \cdot f(x) = (a\cdot f)(x)$ voor elke $x$ uit het domein van $f$ .
De absolute waarde is een reële functie met functievoorschrift $| x | = \begin{cases} \phantom{-}x & \mbox{ als }\ x \ge 0\\ -x & \mbox{ als}\ x\lt 0\end{cases}$ Deze functie kan ook geschreven worden als $\sqrt{x^2}$ .
Een functie $f$ die een voorschrift van de vorm $f(x)=a\cdot x+b$ heeft voor twee getallen $a$ en $b$ met $a\ne0$ , heet een lineaire functie. Een speciaal geval doet zich voor als $a=1$ en $b=0$ : dan geldt $f(x) = x$ ; dit is de identiteit.

Vaak wordt gesproken over de constante functie $a$ in plaats van over $C_a$ . Maar pas op: $a(x+1)$ staat voor $ax+a$ en niet voor de waarde in $x+1$ van de constante functie $C_a$ : dat zou $a$ zijn. Dus $C_a(x+1)$ is niet hetzelfde als $a(x+1)$ . Om verwarring te voorkomen, laten we graag het product symbool $\cdot$ zien en schrijven we $a\cdot(x+1)$ in plaats van $a(x+1)$ .

Als we $a=0$ zouden nemen in het voorschrift $a\cdot x+b$ voor een lineaire functie, dan krijgen we de constante functie $b$ . Vandaar dat verlangd wordt dat $a\ne0$ in de definitie van een lineaire functie.

Laat $f$ de functie zijn met voorschrift $f(x) = x$ en $g$ de functie met voorschrift $g(x)={{x+1}\over{x-1}}$ .

Bepaal het functievoorschrift van ${f + g}$ .

$\left({f + g}\right)(x)\,=\,$ ${{x^2+1}\over{x-1}}$

Immers, $\left({f + g}\right)(x)=f(x)+g(x)=\left(x\right)+\left({{x+1}\over{x-1}}\right)={{x^2+1}\over{x-1}}$ .

Nieuw voorbeeld