Functies en grafieken

Functies: Inleiding tot functies

Functies en grafieken

We werken veel met het $x,y$ -vlak waarvan de elementen de paren $\rv{x,y}$ zijn met $x$ en $y$ reële getallen. In dit vlak kunnen we functies visualiseren.

Grafiek

Een grafiek is een verzameling punten in het vlak.

Een functie $f$ kunnen we zichtbaar maken door er een grafiek bij te tekenen: bij elke waarde van $x$ uit het domein van $f$ hoort één waarde voor $y$ , namelijk $f(x)$ . De verzameling van punten $\rv{x,y}$ die zo verkregen wordt, is de grafiek van de functie $f$ .

Met andere woorden, de grafiek van $f$ bestaat dus uit alle punten $\rv{x,f(x)}$ voor $x$ uit het domein van $f$ .

Het hangt af van het domein van $f$ .

Een functie bepaalt een grafiek. Maar hoe zit het andersom: als je een verzameling $X$ van punten in het reële vlak hebt, is er dan ook een functie waar $X$ de grafiek van is? Het antwoord is niet altijd ja:

Grafieken die van een functie afkomstig zijn

Een functie wijst bij elke waarde van $x$ uit het domein precies één waarde van $y$ aan, en bij elke waarde van $x$ buiten het domein, géén waarde van $y$ . De graaf van een functie heeft dus de eigenschap dat elke verticale lijn de graaf in hooguit één punt snijdt.

Andersom geldt dit ook. Als $X$ een graaf is met de eigenschap that elke verticale lijn $X$ in hooguit één punt snijdt, dan is $X$ de graaf van een functie.

Een cirkel is niet de grafiek van een functie. Wanneer we de cirkel bekijken in het $x,y$ -vlak met het middelpunt op de oorsprong, is al snel te zien dat we hier niet één functie bij te vinden is. Er zou immers bij elke waarde van $x$ uit het domein maar één waarde van $y$ moeten zijn. Bekijk nu de $x$ -as, $x=0$ . Die snijdt bovenstaande cirkel in twee punten, namelijk voor $y=1$ en $y=-1$ . Dit is in strijd met bovenstaande regel. Er is dus geen functie waarvan de grafiek samenvalt met deze cirkel.

Als $X$ de graaf van een functie $f$ is, dan is het domein van $f$ de verzameling punten $x$ , zodat de verticale lijn door $\rv{x,0}$ de graaf $X$ (in één punt) snijdt.

Bekijk de functie $f(x)=-3 x-6$ . De grafiek die bij deze functie hoort is een rechte lijn.
Teken hieronder de unieke lijn die de grafiek van $f$ is.

Een lijn wordt getekend door twee punten ervan aan te klikken.

De lijn door $\rv{0,-6}$ en $\rv{2,-12}$

Een lijn is bepaald door twee punten die erop liggen. We berekenen de punten op de grafiek met $x$ -coördinaat gelijk aan $0$ , respectievelijk $2$ :

$x=0$ geeft $f(0)=-6$
$x=2$ geeft $f(2)=2\cdot -3 -6=-12$

De punten $\rv{0,-6}$ en $\rv{2,-12}$ behoren dus tot de grafiek van $f$ . De lijn door deze twee punten is de lijn die hoort bij $f(x)=-3 x-6$ .

Nieuw voorbeeld