Functieanalyse

Toepassingen van differentiëren: Functieanalyse

Functieanalyse

In de vorige paragrafen hebben we gezien hoe je aan de hand van de afgeleide kan bepalen of een functie stijgt of daalt, dat een extremum altijd een stationair punt is, waar de afgeleide 0 is.

Met behulp van deze eigenschappen kun je een functie $f(x)$ analyseren. Dat doe je door de volgende 7 stappen uit te voeren.

Bereken alle nulpunten van $f(x)$ .
Bereken de afgeleide functie $f'(x)$ .
Bepaal de stationaire punten van $f(x)$ (dat wil zeggen: de nulpunten van $f'(x)$ ).
Bereken de functiewaarde $f(x)$ in elk stationair punt $x$ .
Maak een tekenschema van $f'(x)$ . Dat is een schema waarin voor waarden van $x$ aangegeven wordt of de functie $f(x)$ stijgt (dat geef je aan met ++++) of daalt (dat geef je aan met ----). Bij de stationaire punten staat in het schema een 0, want daar is de afgeleide gelijk aan 0.
Maak een indicatie van de intervallen waar de functie stijgend/dalend is.
Maak een nauwkeurige tekening van de grafiek van de functie $f(x)$ .

Analyseer de functie $f(x)=x^3-12\cdot x$

De nulpunten van $f(x)$ zijn $x=0 \lor x=2\cdot \sqrt{3} \lor x=-2\cdot \sqrt{3}$ .
De afgeleide $f'(x)=$ $3\cdot x^2-12$ .
De stationaire punten van $f(x)$ zijn $x=-2 \lor x=2$ .
De bijbehorende extreme waarden van $f$ zijn $f\left(-2\right)=$ $16$ en $f\left(2\right)=$ $-16$ .
Het tekenschema van $f'(x)$ ziet er als volgt uit:

De stijgende intervallen van $f(x)$ zijn $\ivoo{-\infty}{-2}$ en $\ivoo{2}{\infty}$ ; het dalende interval is $\ivoo{-2}{2}$ .
De grafiek van $f(x)$ ziet er als volgt uit:

In $x=-2$ heeft $f(x)$ het lokale maximum $16$ en in $x=2$ het lokale minimum $-16$ . Deze lokale extrema zijn geen globale extrema.

Allereerst berekenen we de nulpunten van $f(x)$ . Dit gaat als volgt:
$\begin{array}{rcll} f(x) =0&&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{de op te lossen vergelijking}} \\ x^3-12\cdot x =0&&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{functievoorschrift ingevuld}} \\ x \cdot \left(x^2-12\right) =0&&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{linkerlid ontbonden in factoren}} \\ x=0 \lor x^2-12=0&&&\phantom{xx}\color{blue}{A\cdot B=0\Leftrightarrow A=0\lor B=0} \\ x=0 \lor x=2\cdot \sqrt{3} \lor x=-2\cdot \sqrt{3}&&&\phantom{xx}\color{blue}{A^2=a\Leftrightarrow A=\sqrt{a} \lor A=-\sqrt{a}} \\ \end{array}$

Vervolgens berekenen we de afgeleide van $f(x)$ . Daarvoor gebruiken we de uitgebreide somregel. Deze zegt dat $f'(x)=\frac{\dd}{\dd x}\left(x^3\right)-12 \cdot\frac{\dd}{\dd x}\left (x\right)$ .
Met behulp van de veeltermregel voor de afgeleide, die zegt dat $\frac{\dd}{\dd x}\left(x^n\right)=n \cdot x^{n-1}$ krijgen we nu:
$\begin{array} {rcl} f'(x)&=&\frac{\dd}{\dd x}\left( x^3-12\cdot x\right)\\ &=&\frac{\dd}{\dd x}\left(x^3\right)-12 \cdot\frac{\dd}{\dd x}\left (x\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{somregel}}\\ &=& 3 \cdot x^{3-1} - 12 \cdot x^{1-1} \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{machtregel}}\\ &=&3\cdot x^2-12 \end{array}$
Nu berekenen we de stationaire punten van $f(x)$ . Stationaire punten zijn de punten waarvoor geldt $f'(x)=0$ . Aangezien $f'(x)=3\cdot x^2-12$ kunnen we de stationaire punten als volgt vinden:
$\begin{array}{rl} 3\cdot x^2-12=0&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{vergelijking ingevuld}}\\ 3\cdot x^2=12&\phantom{xxx}\color{blue}{-12 \text{ naar de andere kant gehaald}}\\ x^2=4&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{gedeeld door 3}}\\ x=-2 \lor x=2&\phantom{xxx}\color{blue}{A^2=a\Leftrightarrow A=\sqrt{a} \lor A=-\sqrt{a}}\end{array}$

Vervolgens zoeken we bij de stationaire punten de bijbehorende waarden van $f(x)$ . De waarde van $f$ in $x=-2$ vinden we door $x=-2$ in te vullen in $f(x)$ in:
$f\left(-2\right)=\left(-2\right)^3-12 \cdot \left(-2\right)=16\tiny.$
Net zo bepalen we de waarde van $f$ in $x=2$ :
$f\left(2\right)=\left(2\right)^3-12 \cdot \left(2\right)=-16\tiny.$

Nu kunnen we een tekenschema bij $f(x)$ maken. In de stationaire punten van $f$ is $f'(x)=0$ . Zet het kleinste stationaire punt links, dat is $-2$ en het grootste rechts, dat is $2$ .

Vervolgens vul je een waarde voor $x$ met $x \lt -2$ in $f'(x)$ in. Bijvoorbeeld $x=-10$ . Dan krijg je $f'(-10)=3 \cdot (-10)^2 -12 =288$ . Aangezien $f'(x) \gt 0$ , stijgt $f(x)$ in het interval $x \lt -2$ en vul je ++++ in.
Vervolgens vul je een waarde voor $x$ met $-2 \lt x \lt 2$ in $f'(x)$ in. Bijvoorbeeld $x=0$ . Dan krijg je $f'(0)=3 \cdot (0)^2 -12 =-12$ . Aangezien $f'(x) \lt 0$ , daalt $f(x)$ in het interval $-2 \lt x \lt 2$ en vul je ---- in.
Vervolgens vul je een waarde voor $x$ met $x \gt 2$ in $f'(x)$ in. Bijvoorbeeld $x=10$ . Dan krijg je $f'(10)=3 \cdot (10)^2 - 12 =288$ . Aangezien $f'(x) \gt 0$ , stijgt $f(x)$ in het interval $x \gt 2$ en vul je ++++ in.

Je krijgt dan het volgende tekenschema:

Als je naar het tekenschema van $f$ kijkt, dan zie je dat er plussen staan bij het schema tot $-2$ en vanaf $2$ tot het einde. Dus op de intervallen $\ivoo{-\infty}{-2}$ en $\ivoo{2}{\infty}$ stijgt $f$ . In het gedeelte van $-2$ tot $2$ staan er minnen, dus op het interval $\ivoo{-2}{2}$ daalt $f$ . Dat betekent dat de stijgende intervallen van $f(x)$ zijn $\ivoo{-\infty}{-2}$ en $\ivoo{2}{\infty}$ ; het dalende interval is $\ivoo{-2}{2}$ .

Met deze gegevens kun je een grafiek van $f(x)$ tekenen. Deze zie je bovenaan deze oplossing. Bovendien kun je nu de extreme punten identificeren: in $x=-2$ heeft $f(x)$ het lokale maximum $16$ en in $x=2$ het lokale minimum $-16$ . Deze lokale extrema zijn geen globale extrema.

Nieuw voorbeeld