Hogere afgeleiden

Toepassingen van differentiëren: Hogere afgeleiden

Hogere afgeleiden

Laat $f$ een functie zijn op een interval $I$ en laat $c$ een punt van $I$ zijn. Stel dat $f$ differentieerbaar is. Aangezien $f'(x)$ weer een functie is, kunnen we haar afgeleide onderzoeken.

Hogere afgeleide

Als de afgeleide van $f'$ bestaat, dan heet $f$ tweemaal differentieerbaar op $I$ . We noteren de afgeleide van $f'$ als $f''$ . Voor de afgeleide van $f'$ in $c$ schrijven we $f''(c)$ of $f^{(2)}(c)$ . In plaats van $f^{(2)}(x)$ wordt ook wel $\dfrac{{\dd}^2}{{\dd}x^2}f(x)$ geschreven.

Zo doorgaande, spreken we voor natuurlijke getallen $n\ge1$ van $n$ -maal differentieerbaar als $f$ , $f'=f^{(1)}$ , $f'' = f^{(2)}, \ldots, f^{(n-1)}$ differentieerbaar zijn. We schrijven $f^{(0)} = f$ en $f^{(n)}$ voor de afgeleide van $f^{(n-1)}$ .

Verder is ook $\dfrac{{\dd}^n}{{\dd}x^n}f(x)$ gebruikelijk voor $f^{(n)}(x)$ .

Omdat $f'(x)$ veel vertelt over de vorm van de grafiek van $f(x)$ , kunnen we op dezelfde manier $f''(x)$ gebruiken om meer te leren over $f'(x)$ en $f(x)$ . Daartoe introduceren we de volgende begrippen.

convex, concaaf en inflectie Stel dat $f$ differentieerbaar is op $I$ .

$f$ heet concaaf (concave down) als de raaklijnen aan de grafiek van $f$ allemaal boven de grafiek lopen.
$f$ heet convex (concave up) als de raaklijnen aan de grafiek van $f$ allemaal onder de grafiek lopen.
$p\in I$ heet een buigpunt (inflection point) als $p$ een punt is waar de raaklijn aan de grafiek door de grafiek gekruist wordt.

Een buigpunt is een overgangspunt tussen concaaf en convex, waar de buiging verandert van concaaf naar convex of andersom.

Bekijk onderstaande grafiek van een functie $f$ gegeven door de blauwe kromme.

Het middelste (grijze) punt is het enige buigpunt van $f$ op het getoonde interval. Links van het buigpunt loopt de (grijze) raaklijn in het buigpunt boven de grafieklijn. Rechts van het buigpunt loopt de (grijze) raaklijn in het buigpunt onder de grafiek van $f$ .

Links van het buigpunt is $f$ concaaf, want de (rode) raaklijn van een willekeurig punt links van het buigpunt loopt boven de grafiek. Rechts van het buigpunt is $f$ convex, want de (groene) raaklijn van een willekeurig punt rechts van het buigpunt loopt onder de grafiek. In het buigpunt gaat de vorm van de grafieklijn (bij toenemende $x$ -waarden) in dit voorbeeld dus over van concaaf naar convex.

Tweede-afgeleidecriterium

Stel dat $f$ tweemaal differentieerbaar is op $I$ .

Als $f''(x)\gt 0$ voor alle $x\in I$ , dan is $f$ convex op $I$ .
Als $f''(x)\lt 0$ voor alle $x\in I$ , dan is $f$ concaaf op $I$ .
Als $p$ binnen $I$ ligt en een buigpunt is van $f$ , dan geldt $f''(p)=0$ .
Als $p$ binnen $I$ ligt en voldoet aan $f'(p)=0$ en $f''(p)\lt0$ , dan heeft $f$ een lokaal maximum in $p$ .
Als $p$ binnen $I$ ligt en voldoet aan $f'(p)=0$ en $f''(p)\gt0$ , dan heeft $f$ een lokaal minimum in $p$ .

Als $f(x)$ convex is, dan is $f''(x) \gt 0$ . Dat impliceert dat $f'(x)$ stijgt. De hellingen van de raaklijnen van $f$ zijn dus stijgend. Bijgevolg is de functie $f$ aan het toenemen in snelheid.

Net zo geldt: als $f(x)$ concaaf is, dan is $f''(x) \lt 0$ . Dat impliceert dat $f'(x)$ daalt. De hellingen van de raaklijnen van $f$ zijn dus dalend. Dit impliceert dat de functie $f$ aan het afnemen is in snelheid.

In een buigpunt geldt $f''(p)=0$ . Dat betekent dat $p$ een stationair punt van $f'$ is. Tot het punt $p$ heeft $f(x)$ dus een dalende snelheid van toename en vanaf het punt $p$ een stijgende snelheid van toename, of andersom.

Als $p$ binnen $I$ ligt en voldoet aan $f'(p)=0$ en $f''(p)=0$ , dan is verder onderzoek nodig om te bezien of $f$ een lokaal maximum, lokaal minimum of geen van beide heeft in $p$ .

Bereken $f'(x)$ , $f''(x)$ en $f'''(x)$ voor $f(x)=3\cdot x^4+7\cdot x^3+7\cdot x-6\tiny.$

$f'(x)=$ $12\cdot x^3+21\cdot x^2+7$
$f''(x)=$ $36\cdot x^2+42\cdot x$
$f'''(x)=$ $72\cdot x+42$

Immers, de machtregel voor differentiatie, zegt: $\dfrac{\dd}{\dd x} \left(x^n\right)=n \cdot x^{n-1}$ en de uitgebreide somregel zegt $\dfrac{\dd}{\dd x} \left(a \cdot f(x) +b \cdot g(x)\right)=a \cdot f'(x) = b \cdot g'(x)$ .
Dat geeft:
$\begin{array}{rcl}f'(x)&=& \frac{\dd}{\dd x}\left(3\cdot x^4+7\cdot x^3+7\cdot x-6\right)\\ &=&3\cdot\frac{\dd}{\dd x}\left(x^{4}\right)+7\cdot\frac{\dd}{\dd x}\left( x^{3}\right)+7 \frac{\dd}{\dd x}\left( x\right)+\frac{\dd}{\dd x}(-6)\\ &=&3\cdot 4\cdot x^{4-1}+7\cdot 3\cdot x^{3-1}+7+0\\ &=&12\cdot x^3+21\cdot x^2+7\end{array}$
Nu passen we dezelfde regels toe op $f'(x)$ .
$f''(x)=$ $36\cdot x^2+42\cdot x$
Tenslotte passen we dezelfde regels toe op $f''(x)$ .
$f'''(x)=$ $72\cdot x+42$

Nieuw voorbeeld