Functies en relaties

Multivariate functies: Basisconcepten

Functies en relaties

In de natuurwetenschappen worden wiskundige modellen vaak gebruikt om de relaties tussen hoeveelheden te beschrijven om processen te begrijpen of om voorspellingen te doen.

Wiskundig gezien is een relatie tussen drie variabelen een deelverzameling van ${\mathbb R}^3$ . In de praktijk wordt de relatie vaak gegeven door een vergelijking in drie variabelen op te schrijven.

Als $f$ een functie is van twee variabelen, dan is de grafiek van $f$ een relatie tussen de drie variabelen; het is de deelverzameling van ${\mathbb R}^3$ die bestaat uit alle punten $\rv{x,y,z}$ die voldoen aan de vergelijking $z=f(x,y)$ .

Er is geen grens aan het aantal vergelijkingen dat gebruikt kan worden om een relatie te beschrijven. Bijvoorbeeld, $\eqs{x&=&\e^{t}\cr y&=&\e^{2t}\cr}$ is een paar vergelijkingen dat een relatie tussen de drie variabelen $x$ , $y$ en $t$ definieert.

Relaties die grafieken zijn van functies

Een relatie tussen drie variabelen $x$ , $y$ en $z$ is de grafiek van een functie $z=z(x,y)$ indien, voor elk paar toelaatbare waarden van $x$ en $y$ , er precies één waarde van $z$ is, zodat $\rv{x,y,z}$ tot de relatie behoort.

Wanneer wij een vergelijking hebben die een relatie definieert tussen drie variabelen, kunnen we proberen de vergelijking te herschrijven in een vorm waarbij één van de variabelen, bijvoorbeeld $v$ , verschijnt aan de linker kant van de vergelijking en niet aan de rechter kant. Het maken van een dergelijke vergelijking, van de vorm $v = \text{een formule zonder }v\tiny,$ heet het isoleren van de variabele $v$ .

Als de relatie een functie definieert, dan noemen we die functie impliciet gedefinieerd door de relatie.

Twee eenvoudige relaties

Veel relaties zijn niet zo expliciet als een functie. Bijvoorbeeld, een bekende formule voor een lens met brandpuntsafstand $f$ luidt $\frac{1}{b}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}\tiny,$ waarbij $v$ de objectafstand is en $b$ de beeldafstand.
Een ander voorbeeld van een relatie tussen drie variabelen is de bol met middelpunt $\rv{0,0,0}$ en straal $1$ . Ze wordt bepaald door de vergelijking $x^2+y^2+z^2=1$ .

Soms is een dergelijke relatie de grafiek van een functie, maar niet altijd. In het eerste voorbeeld is $f$ een functie van $b$ en $v$ . Door de variabele $f$ te isoleren, vinden we het functievoorschrift $f(b,v)=\frac{1}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{v}}\tiny,$ waarvan de rechter kant uiteraard te vereenvoudigen is tot $\frac{b\cdot v}{b+v}$ .

In het voorbeeld van de bol kan $z$ niet worden geschreven als een functie van $x$ en $y$ . De reden is dat er voor veel punten $\rv{x,y}$ twee waarden van $z$ zijn zodat $\rv{x,y,z}$ voldoet aan de vergelijking. We kunnen de relatie beschrijven als de vereniging van de grafieken van de twee functies $z_1$ en $z_2$ , waarbij $z_1(x,y)= \sqrt{1-x^2-y^2}\quad\text{en}\quad z_2(x,y)= -\sqrt{1-x^2-y^2}\tiny.$

In de vergelijking $y=\frac{13x+2z}{-2x+5z}$ zie je meteen dat $y$ een functie van $x$ en $z$ is.

Maar $z$ is ook een functie van $x$ en $y$ . Welk functievoorschrift hoort hierbij? Met andere woorden, druk $z$ uit in $x$ en $y$ en geef je antwoord in de vorm $z=\text{ een uitdrukking in } x\text{ en }y\tiny.$

$z={{\left(2\cdot y+13\right)\cdot x}\over{5\cdot y-2}}$

Dit is in te zien door de variabele $z$ te isoleren in de gegeven vergelijking $y=\frac{13x+2z}{-2x+5z}$ :
$\begin{array}{rcl} (-2x+5z)\cdot y &=& 13x+2z\\ &&\phantom{xyz} \color{blue}{\text{noemer weggewerkt}}\\ -2x\cdot y+5y\cdot z-2z&=&13x\\ &&\phantom{xyz} \color{blue}{\text{termen met } z \text{ naar links}}\\ 5y\cdot z-2z&=&13x+2x\cdot y\\ &&\phantom{xyz} \color{blue}{\text{termen zonder } z \text{ naar rechts}}\\ (5y-2)\cdot z&=&13x+2x\cdot y\\ &&\phantom{xyz} \color{blue}{\text{termen met } z \text{ bijeengebracht}}\\ z&=&\frac{13x+2x\cdot y}{5y-2}\\ &&\phantom{xyz} \color{blue}{\text{gedeeld door de coëfficiënt van } z}\\ \end{array}$ We halen $x$ nog buiten haakjes en krijgen als antwoord het volgende functievoorschrift van $z$ als functie van $x$ en $y$ : $z={{\left(2\cdot y+13\right)\cdot x}\over{5\cdot y-2}}\tiny.$

Nieuw voorbeeld