De functie $$(3t^2-1)^5$$ van $t$ is samengesteld uit de functies $f$ en $g$ met functievoorschriften $$f(x)=x^5\quad\text{en}\quad g(t)=3t^2-1\tiny.$$ Immers, $f\circ g(t)=f(g(t))=(g(t))^5=(3t^2-1)^5$.

De afgeleiden van $f$ en $g$ zijn $\frac{\dd f(x)}{\dd x}=5x^4$ en $\frac{\dd g(t)}{\dd t}=6t$, zodat, vanwege de kettingregel, $$\begin{array}{rcl}\frac{\dd(3t^2-1)^5}{\dd t}&=&\frac{\dd f(g(t))}{\dd t}\\&=&\left.\frac{\dd f(x)}{\dd x}\right|_{x=g(t)}\cdot\frac{\dd g(t)}{\dd t}\\ &=&\left.5x^4\right|_{x=3t^2-1}\cdot6t\\&=&5(3t^2-1)^4\cdot6t\\&=&30t\cdot(3t^2-1)^4\end{array}$$

In de korte notatie schrijven we $y=f(x)=x^5$ en $x=g(t)=3t^2-1$. Gebruiken we de kettingregel in de korte vorm, dan vinden we:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\dd y}{\dd t}&=&\frac{\dd y}{\dd x}\cdot\frac{\dd x}{\dd t}\\ &=&\frac{\dd x^5}{\dd x}\cdot\frac{\dd (3t^2-1)}{\dd t}\\ &=&5x^4\cdot6t\\&=&5(3t^2-1)^4\cdot6t\\&=&30t\cdot(3t^2-1)^4\end{array}$$

Merk op dat we in $\frac{\dd y}{\dd t}$ de variabele $y$ gebruiken voor $y$ als functie van $t$ en in $\frac{\dd y}{\dd x}$ voor $y$ als functie van $x$.

Als het begrip continuïteit voor functies als $\frac{\partial f}{\partial x}$ en $\frac{\partial f}{\partial y}$ niet bekend is, bedenk dan dat dit een milde voorwaarde is die in onze voorbeelden vrijwel altijd vervuld is.

Wanneer we spreken van $f$ als functie van $s$ en $t$, dan bedoelen we de samengestelde functie $f\circ \varphi$, waarbij $\varphi(s,t)=\rv{x(s,t),y(s,t)}$ een afbeelding is van een deelverzameling van ${\mathbb R}^2$ naar ${\mathbb R}^2$.

Deze dubbele betekenis van $f$ (als functie van $x$ en $y$ maar ook als functie van $s$ en $t$) zie je ook terug in $x$ en $y$, die enerzijds als onafhankelijke variabelen gezien worden (zoals in de noemers van uitdrukkingen als $\frac{\partial f}{\partial y}$), anderzijds als functies van $s$ en $t$ (zoals in de teller van $\frac{\partial y}{\partial t}$).

Hier zijn nog twee bijzondere gevallen:

Als $w=w(x)$ een functie is van één variable met continue partiële afgeleide, en $x$ is een differentieerbare functie van $s$ en $t$, dan heeft $w$, als functie van $s$ en $t$, partiële afgeleiden $$\frac{\partial w}{\partial s}=\frac{\dd w}{\dd x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}\quad\text{en}\quad\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\dd w}{\dd x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}\tiny.$$

Als $w=w(x,y,z)$ een functie is van drie variabelen met continue partiële afgeleiden, en $x$, $y$ en $z$ zijn differentieerbare functies van $t$, dan heeft $w$, als functie van $t$, afgeleide $$\frac{\dd w}{\dd t}=\frac{\partial w}{\partial x}\cdot\frac{\dd x}{\dd t}+ \frac{\partial w}{\partial y}\cdot\frac{\dd y}{\dd t}+\frac{\partial w}{\partial z}\cdot\frac{\dd z}{\dd t}\tiny.$$