Laplace-getransformeerden van periodieke functies

Differentiaalvergelijkingen en Lineaire algebra: Laplace-transformaties

Laplace-getransformeerden van periodieke functies

Ook voor periodieke functies is er een regel voor de berekening van de Laplace-getransformeerde.

Laat $T$ een positief getal zijn. Een functie $f$ op $\ivco{0}{\infty}$ heet periodiek met periode $T$ als voor alle $t\ge0$ geldt $f(t+T) = f(t)$

De cosinus en sinus zijn periodiek met periode $2\pi$ .

Een constante functie is periodiek met periode $T$ voor elke positieve waarde van $T$ .

Hier is een formule voor de Laplace-getransformeerde van een periodieke functie:

Als de Laplace-getransformeerde van een periodieke functie $f$ met periode $T\gt0$ bestaat, dan voldoet deze aan

$\laplace(f) (s) = \frac{1}{1-\ee^{-Ts}}\cdot \int_0^T\ee^{-st}\cdot f(t)\,\dd t$

De periodiciteit leidt tot een lineaire vergelijking voor de Laplace-getransformeerde:

$\begin{array}{rcl} \laplace{(f)} (s) &=&\int_0^{\infty}f(t)\cdot \e^{-st}\,\dd t\\ &=& \int_0^T f(t)\cdot \e^{-st}\,\dd t+ \int_T^{\infty} f(t)\cdot \e^{-st}\,\dd t\\ &=&\int_0^T f(t)\cdot \e^{-st}\,\dd t+ \int_0^{\infty} f(t+T)\cdot \e^{-st-sT}\,\dd t\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{substitutie }t = T+t}\\&=&\int_0^T f(t)\cdot \e^{-st}\,\dd t+ \int_0^{\infty} f(t)\cdot \e^{-st-sT}\,\dd t\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{periodiciteit}}\\&=&\int_0^T f(t)\cdot \e^{-st}\,\dd t+\e^{-sT}\cdot \laplace{(f)}(s)\end{array}$

Oplossing van deze lineaire vergelijking in de onbekende $\laplace{(f)}(s)$ geeft

$\laplace{(f)}(s) = \frac{1}{1-\ee^{-Ts}}\cdot \int_0^T\ee^{-st}\cdot f(t)\,\dd t$

Bepaal de Laplace-getransformeerde van de periodieke functie $f$ op $\ivco{0}{\infty}$ met periode $12$ gegeven door $f(t)=\begin{cases}1 &\text{als }\ 0\le t \lt 6\\ -1 &\text{als }\ 6\le t\lt 12\end{cases}$

Geef je antwoord als een functie van $s$ voor $s>0$ .

$\laplace{(f)}(s) =$ ${{\euler^{6\cdot s}-1}\over{s\cdot \euler^{6\cdot s}+s}}$

Volgens de Laplace-getransformeerde van een periodieke functie geldt
$\begin{array}{rcl}\laplace{(f)}(s) &=&\displaystyle\frac{1}{1-\ee^{-12 s}}\cdot \int_0^{12}\ee^{-st}\cdot f(t)\,\dd t\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{De Laplace-getransformeerde van een periodieke functie}}\\ &=&\displaystyle\frac{1}{1-\ee^{-12 s}}\cdot \left(\int_0^{6}\ee^{-st}\,\dd t-\int_{6}^{12}\ee^{-st}\,\dd t\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }f}\\ &=&\displaystyle\frac{1}{1-\ee^{-12 s}}\cdot\left( \left[-{{\euler^ {- s t }}\over{s}}\right]_0^{6}+\left[{{\euler^ {- s t }}\over{s}}\right]_{6}^{12}\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{primitieve berekend}}\\ &=&\displaystyle\frac{1}{1-\ee^{-12 s}}\cdot\left( {{1}\over{s}}-{{\euler^ {- 6 s }}\over{s}}+{{\euler^ {- 12 s }}\over{s}}-{{\euler^ {- 6 s }}\over{s}}\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{primitieven uitgerekend in de grenzen}}\\ &=&\displaystyle {{\euler^{6\cdot s}-1}\over{s\cdot \euler^{6\cdot s}+s}}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld