Differentiaalvergelijkingen en Lineaire algebra: Laplace-transformaties
Laplace-getransformeerden van delta-functies
In de theorie Differentialen hebben we gezien dat een differentiaal een uitdrukking van de vorm #f(t)\,\dd g(t)# is, waarbij zowel #f(t)# als #g(t)# functies van #t# zijn. Het is geen getal en geen functie, maar een uitdrukking die een "oneindig kleine" (infinitesimale) verandering aangeeft afhankelijk van de verandering in #g(t)#. Een van de nuttige eigenschappen van een differentiaal is dat het een integraal bepaalt: #\int f(t)\,\dd g(t)#, waarbij #f# een functie is.
Als #g# differentieerbaar is, dan geldt #f(t)\,\dd g(t) =f(t)\cdot g'(t) \dd t# en kan de bepaalde integraal #\int_a^b f(t)\,\dd g(t)# op een interval #\ivoo{a}{b}# met Riemann-sommen gezien worden als #\int_a^b f(t)\cdot g'(t) \dd t#. Hier zijn #a# en #b# getallen (of plus of min oneindig) met #a\lt b#. Met behulp van Riemann-Stieltjes integratie kunnen we deze uitdrukkingen ook goed interpreteren als #g# niet differentieerbaar is. Een belangrijk voorbeeld is de Heaviside-functie #u_c#, waarbij #c# een reëel getal is, die voldoet aan
\[\int_0^\infty f(t)\,\dd u_c(t) =f(c)\]
Als #g# niet differentieerbaar is, dan zouden we dezelfde notatie kunnen gebruiken, waarbij #g'(t)\,\dd t# gezien wordt als synoniem voor #\dd g(t)#. Dit suggereert dat #g'(t)# een functie van #t# zou zijn, wat niet altijd het geval is. Toch is de suggestie nuttig, in het bijzonder voor #g(t) = u_c(t)#, de Heaviside-functie. In dat geval schrijven we meestal #\delta_c(t) # in plaats van #u_c'(t)#. We zullen vaak #\delta(t-c)# schrijven in plaats van #\delta_c(t)#, evenals #u(t-c)# in plaats van #u_c(t)#.
Door de afgeleide als een limiet op te vatten, kunnen we #\delta# begrijpen als een limiet voor #\varepsilon\to0# van de volgende functies #\Delta_{\varepsilon}#.
Hoewel we #\delta(t-c)# opschrijven, heeft deze uitdrukking pas betekenis in aanwezigheid van #\dd t#. Niettemin kunnen we met #\delta# bijna werken als een gewone functie door haar te interpreteren als de limiet voor #\varepsilon\to0# van de volgende reële functies #\Delta_{\varepsilon}#:
\[\Delta_\varepsilon (x) = \dfrac{u_{-\varepsilon}(x)-u_{\varepsilon}(x)}{2\varepsilon}\]
We noemen #\delta(t)# de Dirac impuls-functie.
Bij het definiëren van #\delta# hebben we de volgende twee eigenschappen gevonden, die het ons mogelijk maken met de Dirac impulse-functies te rekenen.
Eigenschappen van de impuls-functieDe Dirac impuls-functie #\delta# gedraagt zich in zoverre als een functie dat, voor elk reëel getal #c# en elke stuksgewijs continue functie #f#,
- #\delta(x-c) = 0# als #x\ne c#, en
- \(\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-c)\,\dd x =f(c)\)
In het bijzonder geldt
\[\laplace \left(\delta(t-c)\right) (s) = \ee^{-sc}\]
Geef je antwoord als functievoorschrift in de variabele #s# voor #s\gt 0#.
\[\begin{array}{rcl}\laplace{(\delta(t-7))}(s) &=&\displaystyle \int_0^{\infty}\left( \delta (t-7) \right)\cdot \ee^{-st} \,\dd t\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{\(\laplace\bigl(f(t)\bigr)(s) := \int_0^\infty f(t)\, \e^{-st} \,\dd t\)}}\\
&=&\displaystyle\int_0^{\infty} \ee^{-st} \,\dd\left( u (t-7) \right)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\delta(t-c)\,\dd t = \dd u(t-c)}\\
&=&\displaystyle \euler^ {- 7 s }\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{ \int_0^{\infty}f(t)\,\dd u(t-c)= f(c)}
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.