Het begrip lineaire deelruimte

Vectorruimten: Vectorruimten en lineaire deelruimten

Het begrip lineaire deelruimte

Laat $W$ een deelverzameling van een vectorruimte $V$ zijn. Als we twee vectoren van $W$ nemen, dan is hun som een vector van $V$ , die niet noodzakelijk in $W$ ligt. Als we willen dat $W$ met de optelling van $V$ weer een vectorruimte is, moeten we eisen dat die som in $W$ in ligt. Een soortgelijke opmerking geldt voor de scalaire vermenigvuldiging van vectoren uit $W$ .

Lineaire deelruimte
Een niet-lege deelverzameling $W$ van een vectorruimte $V$ heet een lineaire deelruimte van $V$ als voor alle $\vec{p}$ , $\vec{q}\in W$ en alle scalairen $\lambda$ , $\mu$ geldt:

$\lambda\cdot \vec{p} + \mu \cdot \vec{q} \in W$

Het kleinste voorbeeld is de deelverzameling $\{\vec{0}\}$ van $V$ , die enkel bestaat uit de nulvector. Deze lineaire deelruimte heet de triviale lineaire deelruimte van $V$ .
Het grootste voorbeeld is de deelverzameling $V$ van $V$ , die bestaat uit alle vectoren van $V$ . Alle andere lineaire deelruimtes noemen we echt.

Voorbeelden

De reële getallen, $\mathbb{R}$ , met de gebruikelijk optellingen en vermenigvuldiging, is een vectorruimte. De triviale deelruimte $\{\vec{0}\}$ en de hele ruimte $\mathbb{R}$ zijn de enige twee lineaire deelruimten van $\mathbb{R}$ .

Elke lijn door de oorsprong in $\mathbb{R}^n$ , dat wil zeggen: elke deelverzameling van de vorm $\left.\left\{\lambda \, \vec{v}\,\right| \,\lambda\in\mathbb{R} \right\}$ voor een vaste niet-nul vector $\vec{v}$ , is een lineaire deelruimte van $\mathbb{R}^n$ . Als de lijn niet door de oorsprong gaat, is het geen lineaire deelruimte.

De eis dat $W$ niet-leeg is, kan vervangen worden door de eis dat de nulvector $\vec{0}$ van $V$ tot $W$ behoort. Het is immers zo dat,

als $\vec{0}$ tot $W$ behoort, $W$ niet leeg is, en
als $W$ een vector, zeg $\vec{w}$ , bevat, het ook de tegengestelde $-\vec{w}$ ervan bevat, dus ook de lineaire combinatie $\vec{w}+\left(-\vec{w}\right)=\vec{0}$ .

Deze eenvoudige eigenschap kan vaak gebruikt worden om in te zien dat een deelverzameling $W$ van $V$ geen lineaire deelruimte is.

De eis dat een deelverzameling een lineaire deelruimte is, garandeert dat op die deelverzameling de structuur van een vectorruimte te vinden is.

Lineaire deelruimten zijn vectorruimten

Als $W$ een lineaire deelruimte van $V$ is, dan is $W$ zelf, met de optelling en scalaire vermenigvuldiging van $V$ ook een vectorruimte.

Voorbeeld De deelverzameling $L = \left.\left\{\lambda \,\rv{1,0}\,\right| \,\lambda\in\mathbb{R} \right\}$ van $\mathbb{R}^2$ is een lineaire deelruimte van $\mathbb{R}^2$ . Als we het punt $\rv{\lambda, 0}$ van $L$ met het getal $\lambda$ van $\mathbb{R}$ identificeren, dan is eenvoudig na te gaan dat de vectorruimte van de lineaire deelruimte $L$ samenvalt met de vectorruimte $\mathbb{R}$ .

Om dit in te zien moeten we de acht regels voor een vectorruimte nagaan voor $W$ . Aan de regels die gaan over gelijkheden, is voldaan omdat de regels al in $V$ gelden. Deze opmerking brengt de te controleren regels terug tot de regel over het bestaan van de nulvector en de regel over de tegengestelde vector van een vector $\vec{w}$ in $W$ .

Het bestaan van de nulvector is al besproken in de definitie van lineaire deelruimte.

Blijft over aan te tonen dat, als $\vec{w}$ tot $W$ behoort, dan ook $-\vec{w}$ . Dit volgt uit het feit dat $-\vec{w}$ gelijk is aan de lineaire combinatie $\vec{0}+(-1)\cdot\vec{w}$ van $\vec{0}$ en $\vec{w}$ , die beide behoren tot $W$ .

De oplossing van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen met $n$ onbekenden is een lineaire deelruimte van $\mathbb{R}^n$ :

Bekijk de volgende algemene vorm van een homogeen stelsel van $m$ lineaire vergelijkingen met $n$ onbekenden $x_1, \ldots, x_n$ :

$\left\{\;\begin{array}{rclllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!0\\ a_{21}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \!\!\cdots \!\!\!\!&+&\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!0\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{m2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!0\end{array}\right.$ Hierbij zijn alle $a_{ij}$ met $1\le i\le m, 1\le j\le n$ reële of complexe getallen.

Een algemene vector in $\mathbb{R}^n$ beschrijven we met behulp van de coördinaten $x_1,\ldots,x_n$ ; dus $\rv{x_1,\ldots,x_n}$ zien we als een vector van $\mathbb{R}^n$ . Zo kunnen de oplossingen van het stelsel vergelijkingen gezien worden als een deelverzameling $S$ van $\mathbb{R}^n$ .

De verzameling oplossingen van het homogene stelsel is een lineaire deelruimte van $\mathbb{R}^n$ .

Voorbeeld De verzameling oplossingen $\rv{x,y}$ van de vergelijking $y=0$ is de lijn $L = \left.\left\{\lambda \,\rv{1,0}\,\right| \,\lambda\in\mathbb{R} \right\}$ door de oorsprong, dus een lineaire deelruimte van $\mathbb{R}^2$ .

Laat $W$ de verzameling oplossingen van het homogene stelsel zijn. Om te laten zien dat $W$ een lineaire deelruimte van $\mathbb{R}^n$ is, stellen we de volgende drie feiten vast:

1. De vector $\vec{0}$ behoort tot $W$ . Als we in het linker lid $a_{j,1}x_1 + a_{j,2}x_2 + \cdots + a_{j,n}x_n$ van de $j$ -de vergelijking $\rv{x_1,x_2,\ldots,x_n}=\vec{0}$ invullen, dan staat er $0$ , wat gelijk is aan het rechter lid.

2. Als $\vec{x}=\rv{x_1,x_2,\ldots,x_n}$ tot $W$ behoort en $\lambda$ een scalar is, dan behoort ook $\lambda\cdot \vec{x}$ tot $W$ . Dit volgt uit

$\begin{array}{rl}&a_{j,1}\cdot\left(\lambda\cdot x_1\right) + a_{j,2}\cdot\left(\lambda\cdot x_2\right) + \cdots + a_{j,n}\cdot\left(\lambda\cdot x_n\right)\\&\phantom{xx}=\lambda\cdot\left(a_{j,1}\cdot x_1 + a_{j,2}\cdot x_2 + \cdots + a_{j,n}\cdot x_n\right)\\ &\phantom{xx}=\lambda\cdot0\\ &\phantom{xx}=0\end{array}$

3. Als $\vec{x}=\rv{x_1,x_2,\ldots,x_n}$ en $\vec{y}=\rv{y_1,y_2,\ldots,y_n}$ tot $W$ behoren, dan behoort ook $\vec{x}+\vec{y}$ tot $W$ . Dit volgt uit

$\begin{array}{rl}&a_{j,1}\cdot\left( x_1+y_1\right) + a_{j,2}\cdot\left( x_2+y_2\right) + \cdots + a_{j,n}\cdot\left( x_n+y_n\right)\\&\phantom{xx}=\left(a_{j,1}\cdot x_1 + a_{j,2}\cdot x_2 + \cdots + a_{j,n}\cdot x_n\right)\\&\phantom{xxxx}+\left(a_{j,1}\cdot y_1 + a_{j,2}\cdot y_2 + \cdots + a_{j,n}\cdot y_n\right)\\ &\phantom{xx}=0+0\\ &\phantom{xx}=0\end{array}$

Uit deze drie feiten is eenvoudig af te leiden dat $W$ aan de definitie van een lineaire deelruimte voldoet (deze conclusie wordt behandeld in een opgave).

Later zullen we zien dat, andersom, elke lineaire deelruimte van $\mathbb{R}^n$ de oplossing is van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen in $n$ onbekenden.

Is de deelverzameling $W$ van $\mathbb{R}^3$ bestaande uit alle vectoren $\rv{x,y,z}$ die voldoen aan de vergelijking $-x+5\cdot y+4\cdot z=-10$ een lineaire deelruimte van $\mathbb{R}^3$ ?

Nee

De verzameling $W$ van oplossingen van de vergelijking $-x+5\cdot y+4\cdot z=-10$ in $\mathbb{R}^3$ is geen lineaire deelruimte van $\mathbb{R}^3$ , want de nulvector van $\mathbb{R}^3$ voldoet niet aan de vergelijking.

We kunnen dit ook anders inzien: de vectoren $\vec{a} =\rv{10,0,0}$ en $\vec{b} =\rv{0,-2,0}$ behoren tot $W$ maar $\vec{a}+\vec{b}=\rv{10,-2,0}$ niet, omdat invullen van de waarden van de coördinaten in de vergelijking leidt tot $-20=-10$ . De lineaire combinatie $\vec{a}+\vec{b}$ van $\vec{a}$ en $\vec{b}$ behoort dus niet tot $W$ .

Nieuw voorbeeld