In de theorie Opspansels hebben we gezien dat het soms mogelijk is een opgespannen ruimte ook te schrijven als opgespannen ruimte van minder vectoren. We gaan daar nu verder op in. Het doel is bij een gegeven opgespannen ruimte zo weinig mogelijk vectoren te vinden die deze ruimte al opspannen. Daartoe bespreken we een aantal bewerkingen met opspansels die de abstracte tegenhangers zijn van de veegoperaties uit het hoofdstuk Stelsel lineaire vergelijkingen en matrices.
Laat #\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_m# een stel vectoren in een vectorruimte zijn. De opgespannen ruimte #\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_m}# verandert niet als we
- de volgorde van #\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_m# veranderen,
- één van de vectoren met een getal ongelijk aan # 0# vermenigvuldigen; dat wil zeggen: een vector #\vec{a}_i# vervangen door #\mu\cdot \vec{a}_i# met #\mu \ne0#,
- bij één van de vectoren een scalair veelvoud van een andere optellen; dat wil zeggen: een vector #\vec{a}_i# vervangen door #\vec{a}_i +\mu\cdot \vec{a}_j# met #j\neq i# en #\mu# een scalar,
- de nulvector ergens invoegen: #\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_m} = \linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_m, \vec{0}}#,
- de nulvector weglaten: #\vec{a}_i# verwijderen als het de nulvector is,
- een lineaire combinatie van #\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_m# toevoegen,
- de vector #\vec{a}_i# weglaten als deze afhankelijk is van de overige vectoren.
Als we als vectorruimte #\mathbb{R}^n# nemen, dan komen de eerste drie bewerkingen overeen met de elementaire bewerkingen op de #m# rijen #\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_m# van een #(m\times n)#-matrix.
De overige vier bewerkingen gaan over het toevoegen en weglaten van rijen. Ook deze bewerkingen op de rijen van de aangevulde matrix van een stelsel lineaire vergelijkingen leveren de aangevulde matrix van een equivalent stelsel op.
Bij elk van deze zeven uitspraken komt het bewijs erop neer dat elke lineaire combinatie \[ \lambda_1\cdot\vec{a}_1+\cdots+\lambda_n\cdot\vec{a}_m\] om te schrijven is tot een lineaire combinatie van het nieuwe stelsel, en andersom.
1. Verandering van de volgorde van #\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_m#: we gebruiken de commutativiteit van de vectoroptelling om de lineaire combinatie in de nieuwe volgorde te herschrijven. Voor #m=2# bijvoorbeeld: \[ \lambda_1\cdot\vec{a}_1+\lambda_2\cdot\vec{a}_2=\lambda_2\cdot\vec{a}_2+\lambda_1\cdot\vec{a}_1\]
2. Vervanging van #\vec{a}_i# door #\mu\cdot \vec{a}_i#, waarbij #\mu\neq0#: we herschrijven de lineaire combinatie \[\lambda_1\cdot\vec{a}_1+\cdots+\lambda_i\cdot\vec{a}_i +\cdots+\lambda_m\cdot\vec{a}_m \ \text{ als }\ \lambda_1\cdot\vec{a}_1+\cdots+\frac{\lambda_i}{\mu}\cdot(\mu\cdot\vec{a}_i) +\cdots+\lambda_m\cdot\vec{a}_m\] Dit bewijst\[\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_i,\ldots,\vec{a}_m}\subseteq\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\mu\cdot\vec{a}_i ,\ldots,\vec{a}_m}\]Andersom kunnen we \[ \lambda_1\cdot\vec{a}_1+\cdots+\lambda_i\cdot(\mu\cdot\vec{a}_m) +\cdots+\lambda_m\cdot\vec{a}_m\] herschrijven tot \[ \lambda_1\cdot\vec{a}_1+\cdots+(\lambda_i\cdot\mu)\cdot\vec{a}_m +\cdots+\lambda_m\cdot\vec{a}_m\] Dit bewijst\[\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_i,\ldots,\vec{a}_m}\supseteq\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\mu\cdot\vec{a}_i ,\ldots,\vec{a}_m}\]Uit beide inclusies tezamen volgt gelijkheid van de twee opspansels.
3. Vervanging van een vector #\vec{a}_i# door #\vec{a}_i +\mu\cdot \vec{a}_j# met #j\neq i#: door eventueel de volgorde van de vectoren te veranderen hoeven we dit slechts aan te tonen in de situatie dat we bij #\vec{a}_1# de vector #\mu\cdot\vec{a}_2# optellen, dat wil zeggen: #i=1# en #j=2#. De lineaire combinatie # \lambda_1\cdot\vec{a}_1+\lambda_2\cdot\vec{a}_2 +\cdots+\lambda_m\cdot\vec{a}_m# is te herschrijven als # \lambda_1\cdot\left(\vec{a}_1+\mu\cdot\vec{a}_2\right)+\left(\lambda_2-\lambda_1\cdot\mu\right)\cdot\vec{a}_2 +\cdots+\lambda_m\cdot\vec{a}_m#. Dit bewijst\[ \linspan{\vec{a}_1 +\mu\cdot \vec{a}_2 ,\vec{a}_2 ,\ldots ,\vec{a}_m}\supseteq
\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_m} \]Andersom is # \lambda_1\cdot\left(\vec{a}_1+\mu\cdot \vec{a}_2\right)+ \lambda_2\cdot\vec{a}_2+\cdots+\lambda_m\cdot\vec{a}_m# te herschrijven tot # \lambda_1\cdot\vec{a}_1+\left(\lambda_2+\lambda_1\cdot\mu\right)\cdot \vec{a}_2+\cdots+\lambda_m\cdot\vec{a}_m#. Dit bewijst\[ \linspan{\vec{a}_1 +\mu\cdot \vec{a}_2 ,\vec{a}_2 ,\ldots ,\vec{a}_m}\subseteq
\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_m } \]Uit beide inclusies tezamen volgt gelijkheid van de twee opspansels.
4 en 5. Invoegen en weglaten van de nulvector is toegestaan: de scalar van de nulvector die we toevoegen aan een lineaire combinatie van #\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_m# doet er niet toe; de bijdrage van de nulvector blijft nihil, zodat \[ \linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_m} = \linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_m, \vec{0}}\]
6 en 7. Als #\vec{a}_j# een lineaire combinatie is van #\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_{j-1},\vec{a}_{j+1},\ldots,\vec{a}_m#, dan valt # \linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_m}# samen met #\linspan{\vec{a},\ldots,\vec{a}_{j-1},\vec{a}_{j+1},\ldots,\vec{a}_m}#: Met het oog op onderdeel 1 kunnen we #j=m# veronderstellen. Als nu #\vec{a}_m=\mu_1\cdot \vec{a}_1 + \cdots +\mu_{m-1}\cdot\vec{a}_{m-1}# voor zekere scalairen #\mu_1,\ldots,\mu_{m-1}#, dan vinden we
\[
\begin{array}{rcl}\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_{m-1}} &= &\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_{m-1} , \vec{0}}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{onderdeel 4}}\\
&= &\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_{m-1} , \vec{0}+\mu_1\cdot\vec{a}_1 } \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{onderdeel 3}}\\
& \vdots \\
& =& \linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_{m-1} ,\mu_1\cdot\vec{a}_1 +\cdots +\mu_{m-1}\cdot\vec{a}_{m-1} }\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{onderdeel 3}}\\
& =& \linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_{m-1} ,\vec{a}_m }
\end{array}\]
Door enkele onderdelen samen te nemen, komen we uit op een manier om stellen opspannende vectoren te veranderen die belangrijk is voor het vervolg:
Laat #j# een natuurlijk getal zijn in #\ivcc{1}{n}#. Als #\vec{u}_1,\ldots ,\vec{u}_m# en #\vec{u}# vectoren zijn met #\vec{u}=\lambda_1\vec{u}_1+\cdots+\lambda_m\vec{u}_m#, waarbij de #\lambda_1,\ldots,\lambda_m# scalairen zijn, zodat #\lambda_j\neq 0#, dan is
\[
\linspan{\vec{u}_1,\ldots ,\vec{u}_m}=\linspan{\vec{u}_1,\ldots\vec{u}_{j-1},\vec{u},\vec{u}_{j+1},\ldots ,\vec{u}_m}
\]
Deze stelling zegt dat als een vector #\vec{u}\in \linspan{\vec{u}_1,\ldots ,\vec{u}_m}# geschreven kan worden als lineaire combinatie van #\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_m#, waarbij de scalar bij #\vec{u}_j# ongelijk aan #0# is, we de vector #\vec{u}_j# kunnen vervangen door #\vec{u}# zonder dat daardoor de opgespannen ruimte verandert.
De naam Uitwisselingsstelling slaat op de uitwisseling van #\vec{u}# met #\vec{u}_j#.
Vermenigvuldig in het opspannend stel vectoren eerst #\vec{u}_j# met #\lambda_j# (die ongelijk aan #0# is; gebruik onderdeel 2) en tel dan bij de #j#-de vector achtereenvolgens #\lambda_1\vec{u}_1,\ldots ,\lambda_{j-1}\vec{u}_{j-1}#, #\lambda_{j+1}\vec{u}_{j+1},\ldots ,\lambda_m\vec{u}_m# op (gebruik onderdeel 3 herhaaldelijk). Hierdoor verandert de opgespannen ruimte niet, zodat \[\linspan{\vec{u}_1,\ldots ,\vec{u}_j,\ldots ,\vec{u}_m}=\linspan{\vec{u}_1,\ldots ,\vec{u}_{j-1},\vec{u},\vec{u}_{j+1},\ldots ,\vec{u}_m}\]
Door herhaald toepassen van bovenstaande regels zien we bijvoorbeeld dat (ongeacht de vectorruimte waarin we werken)
\[
\begin{array}{rl}
\linspan{\vec{a}+2\vec{b}, \vec{a}-\vec{b},\vec{a}+\vec{b}}& =
\linspan{\vec{a}+2\vec{b}, \vec{a}-\vec{b},\vec{a}+\vec{b}+(\vec{a}-\vec{b})}\\
& = \linspan{\vec{a}+2\vec{b}, \vec{a}-\vec{b},2\vec{a}}\\
& =\linspan{\vec{a}+2\vec{b}-\frac12\cdot 2\vec{a}, \vec{a}-\vec{b}-\frac12\cdot 2\vec{a},2\vec{a}}\\
& =\linspan{2\vec{b}, -\vec{b},2\vec{a}}= \linspan{\vec{b}, -\vec{b},\vec{a}}\\
& =
\linspan{\vec{b}, -\vec{b}+\vec{b},\vec{a}}=\linspan{\vec{b}, \vec{0},\vec{a}}\\
& =\linspan{\vec{a}, \vec{b}}
\end{array}
\]
Het aantal benodigde vectoren voor het opspansel blijkt gereduceerd te zijn tot twee. Dit proces kan systematisch uitgevoerd worden met behulp van matrices. Net als bij stelsels vergelijkingen is het eigenlijk overbodig steeds #\vec{a}# en #\vec{b}# op te schrijven: het gaat namelijk om de coëfficiënten die optreden. Verzamel derhalve de coëfficiënten in rijen in een matrix; de toe te passen operaties zijn de bekende veegoperaties die ons helpen tot gereduceerde trapvorm te komen:
\[
\hbox{veeg} \quad
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1
\end{array}\right)
\quad \hbox{tot gereduceerde trapvorm}\quad
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0
\end{array}\right)
\]
Dit interpreteren we ten slotte als #\linspan{\vec{a}+2\vec{b}, \vec{a}-\vec{b},\vec{a}+\vec{b}} =\linspan{\vec{a},\vec{b}}#. De toevoeg- en weglaat-regels gebruiken we niet bij de veegoperaties, maar komen naar voren bij het weglaten van nulrijen.
De tussenstadia met de matrices dienen dus enkel om ons rekenwerk te ordenen en leveren een toepassing van de veegoperaties met matrices.
Laat #P_5# de vectorruimte van de veeltermen in #x# van graad ten hoogste #5# zijn, en schrijf
\[\begin{array}{rcl}p_1(x)&=&-x^5+x^4+2\cdot x^3-2\cdot x\\
p_2(x)&=&-x^5+x^4+3\cdot x^3-4\cdot x-2\\
p_3(x)&=&-4\cdot x^5+8\cdot x^3+8\cdot x^2\\
p_4(x)&=&x^4+x^3-2\cdot x^2-4\cdot x-2\\ p_5(x)&=&-2\cdot x^5-4\cdot x^4+4\cdot x^3+12\cdot x^2+8\cdot x\end{array}\]
Het opspansel #\linspan{p_1(x),p_2(x),p_3(x),p_4(x),p_5(x)}# kan ook opgespannen worden door drie veeltermen. Bepaal een lijst #\rv{q_1(x),q_2(x),q_3(x)}# van drie veeltermen #q_1(x)#, #q_2(x)#, #q_3(x)# met die eigenschap; dus zodanig dat
\[\linspan{q_1(x),q_2(x),q_3(x)}=\linspan{p_1(x),p_2(x),p_3(x),p_4(x),p_5(x)}\]
#\rv{x^5-2\cdot x^3-2\cdot x^2,x^4-2\cdot x^2-2\cdot x,x^3-2\cdot x-2}#
We maken gebruik van het feit dat #P_5# opgespannen wordt door de nulde tot en met de vijfde macht van #x#: \[P_5=\linspan{1,x,x^2,x^3,x^4,x^5}\]We registreren de coëfficiënten van de machten van #x# in de veeltermen #p_1(x),\ldots,p_5(x)# als lineaire combinaties van #1,x,\ldots,x^5# in een #(5\times 6)#-matrix #M#: het getal in de #i#-de rij en de #j#-de kolom van #M# is de coëfficiënt van #x^{6-j}# in #p_i(x)#. Dit geeft de matrix
\[M=\matrix{-1 & 1 & 2 & 0 & -2 & 0 \\ -1 & 1 & 3 & 0 & -4 & -2 \\ -4 & 0 & 8 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & -4 & -2 \\ -2 & -4 & 4 & 12 & 8 & 0 \\ }\]Door rijen te vegen kunnen we deze matrix vegen tot
trapvorm:\[N= \matrix{1 & 0 & -2 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ }\]Alleen de eerste drie rijen leveren een bijdrage aan het opspansel. Terugvertaald naar veeltermen geeft dit:
\[\begin{array}{rl}&x^5-2\cdot x^3-2\cdot x^2\\&x^4-2\cdot x^2-2\cdot x\\&x^3-2\cdot x-2\end{array}\]Zo vinden we het antwoord \[\rv{x^5-2\cdot x^3-2\cdot x^2,x^4-2\cdot x^2-2\cdot x,x^3-2\cdot x-2}\]
Bewerkingen met opspannende vectoren
