Vectorruimten: Opspansels
Basis vinden
We keren terug naar het probleem om zuinige stellen opspannende vectoren te vinden voor een gegeven vectorruimte. Dit blijkt nu neer te komen op het vinden van een basis voor die vectorruimte. Voor een eindigdimensionale deelruimte is het volgende resultaat goed te gebruiken.
Groeicriterium voor onafhankelijkheid
Laat #n# een natuurlijk getal zijn en #V# een vectorruimte. Als het stel vectoren #\vec{u}_1, \ldots ,\vec{u}_n# van #V# voldoet aan
\[
\vec{u}_1 \neq \vec{0} ,\, \vec{u}_2 \not\in \linspan{\vec{u}_1 } ,\,
\vec{u}_3\not\in \linspan{ \vec{u}_1 , \vec{u}_2 } ,\, \ldots , \vec{u}_n \not\in \linspan{\vec{u}_1 ,\ldots , \vec{u}_{n-1}}
\]
dan is het onafhankelijk.
In het bijzonder kan iedere basis van een lineaire deelruimte van #V# aangevuld worden tot een basis.
Door een eerste vector willekeurig te kiezen, en vervolgens steeds een vector buiten het opspansel van de al gekozen vectoren, vinden we een basis. Als er al een opspannend stel vectoren voor de vectorruimte gegeven is, dan ligt een andere methode voor de hand.
Twee methoden om een basis te vinden
Hieronder staan twee manieren om een basis te vinden voor een gegeven vectorruimte #V#.
- Als #V# gegeven is als het opspansel van een stel vectoren, dan vinden we een basis door uitdunnen van dit stel.
- Als we niet over een stelsel beschikken dat #V# opspant, dan moeten we zelf basisvectoren produceren:
- Start met een vector #\vec{u}_1 \neq\vec{0}# (zo mogelijk, anders zijn we al klaar).
- Kies dan (zo mogelijk) een vector #\vec{u}_2 \not\in \linspan{\vec{u}_1}#. De vectoren #\vec{u}_1, \vec{u}_2# zijn onafhankelijk wegens de stelling hierboven.
- Kies vervolgens (zo mogelijk) een vector #\vec{u}_3 \not\in \linspan{\vec{u}_1, \vec{u}_2}#. De vectoren #\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3# zijn onafhankelijk wegens de stelling hierboven.
- Ga zo door.
De regel geeft twee algemene mogelijkheden; soms zijn ad hoc methoden sneller.
Ad 1. Gaat het om een stel in #\mathbb{R}^n#, dan komen de veegtechnieken uit het hoofdstuk Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices van pas. Deze meer systematische en snellere methode om een basis te vinden uitgaande van een gegeven stel opspannende vectoren komt later aan de orde. Zoals we later ook zullen zien, kunnen dezelfde technieken ook gebruikt worden voor eindige stellen opspannende vectoren in andere vectorruimten dan #\mathbb{R}^n# door gebruik van zogenaamde coördinaten.
Ad 2. Als de dimensie van #V# eindig is, dan stopt dit proces bij #n=\dim{V}# omdat er geen vectoren buiten #\linspan{\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n}# te vinden zijn. Als er geen einde aan het proces komt, dan is de dimensie van #V# oneindig. Een goed voorbeeld is de keuze #\vec{u}_i=x^{i-1}# voor alle natuurlijke getallen #i# in de vectorruimte van alle veeltermen in #x#.
Hiertoe kiezen we een tweede vector die buiten #\linspan{\rv{-2,-3,0}}# ligt, dat wil zeggen: niet afhankelijk is van #\rv{-2,-3,0}#, bijvoorbeeld de standaardbasisvector #\vec{u}_2 =\rv{1,0,0}#. Omdat #\dim{\mathbb{R}^3}=3# zoeken we nog een derde vector buiten #\linspan{\rv{-2,-3,0},\rv{1,0,0}}#, bijvoorbeeld de standaardbasisvector #\vec{u}_3 = \rv{0,0,1}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.