Het begrip coördinaten

Vectorruimten: Coördinaten

Het begrip coördinaten

In Coördinaatruimten hebben we gezien dat de Euclidische ruimte #\mathbb{E}^3# na de keuze van een basis geïdentificeerd kan worden met #\mathbb{R}^3#. Hier laten we zien dat dit verschijnsel niet op zichzelf staat. Inmiddels is vastgesteld is dat de betreffende ruimtes vectorruimtes zijn.

Bases zijn minimale stelsels die een vectorruimte opspannen. Ze hebben nog een bijzondere eigenschap, die we nu afleiden. Als een stel vectoren een vectorruimte #V# opspant, dan kan iedere vector van #V# geschreven worden als een lineaire combinatie van het stel. Deze schrijfwijze is in het algemeen niet uniek, maar wel als het stel een basis is:

Basiscriterium

Laat #\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n# een stel vectoren in een vectorruimte #V# zijn, waarbij #n# een natuurlijk getal is.

Het stel #\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n# is dan en slechts dan een basis van #V# als er voor iedere #\vec{x}\in V# unieke scalairen #x_1,\ldots,x_n# zijn die voldoen aan
\[
\vec{x}=x_1\cdot \vec{a}_1+\cdots +x_n\cdot \vec{a}_n
\]

Stel dat #\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}# een basis van #V# is. Als naast #\vec{x}=x_1\cdot \vec{a}_1+\cdots +x_n\cdot \vec{a}_n # ook #\vec{x}=y_1\cdot\vec{a}_1+\cdots + y_n\cdot\vec{a}_n# geldt, dan volgt \[
\vec{0}=(x_1 -y_1)\cdot\vec{a}_1 + \cdots + (x_n -y_n ) \cdot\vec{a}_n
\] zodat #x_1 =y_1,\ldots , x_n =y_n# vanwege het Afhankelijkheidscriterium. Dit bewijst dat de schrijfwijze van #\vec{x}# als lineaire combinatie van #\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n# uniek is als #\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}# een basis is van #V#.

Stel nu dat er voor elke #\vec{x}\in V# unieke getallen #x_1,\ldots,x_n# zijn, zodat
\[
\vec{x}=x_1\cdot \vec{a}_1+\cdots +x_n\cdot \vec{a}_n
\]Dan geldt

dat elke vector #\vec{x}# van #V# in het opspansel #\linspan{\vec{a}_1,\ldots, \vec{a}_n}# ligt en
dat de vergelijking\[\vec{0}=x_1\cdot \vec{a}_1+\cdots +x_n\cdot \vec{a}_n
\] als enige oplossing heeft: #x_1=0\land\cdots\land x_n=0#.

Volgens het Afhankelijkheidscriterium is #\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}# dan onafhankelijk, en, omdat #V=\linspan{\vec{a}_1,\ldots, \vec{a}_n}#, zelfs een basis van #V#. Hiermee is de stelling bewezen.

In de vectorruimte #\mathbb{R}# is elk getal #a# ongelijk aan #0# een basis. Elk getal #x# kan uniek geschreven worden als #\frac{x}{a}\cdot a#. De unieke coëfficiënt van #x# ten opzichte van de basis #a# is dus #\frac{x}{a}#.

We geven er de voorkeur aan om een basis te definiëren als een rij of lijst van vectoren aangezien de volgorde waarin ze opgesomd worden van belang is: de basis wordt gebruikt om coördinaten van een willekeurige vector met betrekking tot de basis op te schrijven, en een verandering van de volgorde brengt een permutatie van de coördinaten teweeg.

We kunnen elke vector #\vec{x}# uit #V# dus op unieke wijze representeren met een uniek rijtje van #n# getallen #\rv{x_1,\ldots,x_n}#. Dit geeft aanleiding tot de volgende definitie.

Coördinaten
Laat #n# een natuurlijk getal zijn en #\basis{\vec{a}_1, \ldots ,\vec{a}_n}# een basis van een vectorruimte #V#. Als
\[
\vec{x}=x_1\cdot\vec{a}_1+\cdots + x_n\cdot\vec{a}_n
\] dan heten de getallen #x_1,\ldots ,x_n# de coördinaten van de vector #\vec{x}# ten opzichte van deze basis. De vector #\rv{x_1, \ldots , x_n}# heet de coördinaatvector van #\vec{x}#. Dit is zelf een vector in #\mathbb{R}^n# als #V# een reële vectorruimte is en in #\mathbb{C}^n# als #V# een complexe vectorruimte is.

De vectorruimte van alle coördinaatvectoren heet de coördinaatruimte van #V#.

Let op: de coördinaten van een vector hangen af van de gebruikte basis!

In de vectorruimte #\mathbb{R}# heeft #6# de coördinaat #3# ten opzichte van de basis #2# en de coördinaat #2# ten opzichte van de basis #3#.

Bekijk de complexe #1#-dimensionale vectorruimte #\mathbb{C}#. Als we de scalairen beperken tot reële getallen (die inderdaad speciale complexe getallen zijn), dan kunnen we #\mathbb{C}# opvatten als een reële vectorruimte. Het is niet moeilijk in te zien dat het paar #1#, #\ii# een basis is van deze reële vectorruimte. Aldus is de coördinaatruimte van de complexe getallen, opgevat als reële vectorruimte, gelijk aan #\mathbb{R}^2#.

De vectoren #\rv{ 2 , 1 } # en #\rv{ 3 , 2 } # vormen een basis van #\mathbb{R}^2#.

De onafhankelijkheid haalt men eenvoudig uit het feit dat uit #a\cdot \rv{ 2 , 1 } +b\cdot \rv{ 3 , 2 } =\rv{0,0}# volgt #a=b=0#. Uit de derde eigenschap van de dimensie halen we vervolgens dat twee onafhankelijke vectoren in de tweedimensionale ruimte #\mathbb{R}^2# een basis van deze ruimte vormen.

Bepaal de coördinaten van de vector #\rv{0,-1}# ten opzichte van deze nieuwe basis.

#\rv{3,-2}#

De coördinaten van de vector #\rv{0,-1}# ten opzichte van deze nieuwe basis zijn de getallen #c# en #d# waarvoor #\rv{0,-1}=c\cdot\rv{ 2 , 1 } +d\cdot\rv{ 3 , 2 } #. Uitlezen van de coördinaten levert:
\[\lineqs{ -2\cdot c-3\cdot d&=&0\cr -c-2\cdot d-1 &=&0\cr} \]Dit stelsel vergelijkingen heeft als enige oplossing #c=3# en #d=-2#. De coördinaatvector van #\rv{0,-1}# ten opzichte van de nieuwe basis is dus #\rv{3,-2}#.

Het is dus zaak goed uit elkaar te houden ten opzichte van welke basis we werken.

Nieuw voorbeeld