Vectorruimte (of lineaire ruimte) is het centrale begrip in de lineaire algebra. Het is de wiskundige neerslag van onze intuïtieve voorstelling van ruimte (zoals behandeld in het hoofdstuk Vectorrekening in vlak en ruimte), maar de kracht van het begrip is daarin gelegen dat het vele, op het eerste gezicht totaal verschillende, wiskundige situaties onder één noemer brengt. Een voorbeeld hiervan is de overeenkomstige behandeling van lineaire vergelijkingen en stellen opspannende vectoren in een vectorruimte.

De abstracte formulering met behulp van rekenregels uit de theorie Het begrip vectorruimte is afkomstig van Giuseppe Peano (1858-1932). Het begrip vectorruimte was echter al in minder precieze vorm enkele decennia in gebruik.

Zoals gezegd, vectorruimten worden gebruikt in uiteenlopende situaties. We noemen er enkele.

• Naast het gebruik van vectorruimten om onze ruimte te modelleren, worden vectorruimten gebruikt als kader voor fysische begrippen als snelheid, versnelling, impuls en kracht uit de mechanica en allerlei velden uit het elektromagnetisme.
• De behandeling van signalen (signaalanalyse) en de kwantummechanische beschrijving van allerlei fysische verschijnselen (bijvoorbeeld de structuur van atomen) maken gebruik van vectorruimten van functies en demonstreren het verband tussen lineaire algebra en analyse. Overigens is in de context van zulke functieruimten oneindigdimensionaliteit eerder regel dan uitzondering.
• Wat de meetkunde betreft, komen bij vectorruimten voornamelijk `rechte' objecten aan de orde zoals rechten, vlakken en vectorruimten zelf. Vectorruimten spelen echter ook een fundamentele rol bij de bestudering van gekromde ruimten, bijvoorbeeld als raakruimten aan zulke gekromde objecten.

In onze definitie van vectorruimte laten we als scalairen reële of complexe getallen toe, maar het is ook mogelijk (en nuttig) vectorruimten toe te laten over andere scalairenlichamen; vrijwel alle resultaten in dit hoofdstuk zijn geldig voor deze andere scalairen, maar behandeling valt buiten het bestek van dit vak. In de coderingstheorie en in de cryptologie spelen vectorruimten over de getallen modulo 2 een centrale rol; dit zijn de getallen #0# en #1# met als rekenregels #0+0=0#, #0+1=1+0=1#, #1+1=0#, #1\cdot 0=0\cdot 1 =0# en #1\cdot 1 =1#. Essentieel voor een scalairenlichaam zijn de gewone rekenregels (associativiteit, distributiviteit, het bestaan van #0# en #1#, de inverse van een getal dat ongelijk aan #0# is, de negatieve van een getal, etc.; commutativiteit is niet echt nodig).

Het proces van coördinatisering, dat we eerder hebben gezien voor het vlak #\mathbb{E}^2# en de ruimte #\mathbb{E}^3#, blijkt op elke #n#-dimensionale vectorruimte toepasbaar. We geven een overzicht van de overeenkomsten tussen de coördinaatruimte #\mathbb{R}^n# en een willekeurige vectorruimte #V# met basis #\basis{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n}#.

In het bijzonder hebben we de correspondentie tussen stelsels lineaire vergelijkingen en de vectorruimte #L_n# leren kennen. We zullen hier later op voortbouwen met het begrip dualiteit. Daarbij zijn lineaire functionalen speciale (homogene) lineaire veeltermfuncties: zij vormen de lineaire deelruimte van #L_n# opgespannen door #\basis{x_1,\ldots,x_n}#.

We hebben de volgende vectorruimten leren kennen:

• #F#: de functies op een gegeven verzameling #X#
• #P_n#: de veeltermfuncties in één variabele op #\mathbb{R}# van graad ten hoogste #n#
• #L_n#: de lineaire veeltermfuncties op #\mathbb{R}^n#
• #M_{m\times n}#: de #(m\times n)#-matrices

We hebben ook de correspondentie tussen affiene deelruimten en stelsels lineaire vergelijkingen leren kennen:

• Elke affiene deelruimte van #\mathbb{R}^n# is de oplossingsverzameling van een stelsel lineaire vergelijkingen in #n# onbekenden.
• De oplossingsverzameling van elk stelsel lineaire vergelijkingen in #n# onbekenden is een affiene deelruimte van #\mathbb{R}^n#.

Het proces om een #n#-dimensionale reële vectorruimte met #\mathbb{R}^n# te identificeren is coördinatisering. De coördinaten van een vector hangen af van de keuze van een basis. De overgang van een basis naar een andere basis heet een coördinatentransformatie. Dit begrip kan pas goed behandeld worden nadat we een formalisme ontwikkeld hebben om vectorruimten met elkaar te vergelijken. Dit onderwerp komt aan bod in het natuurlijke verlengde van dit hoofdstuk: Lineaire afbeeldingen. Zowel matrices als de rang van een matrix helpen bij het begrijpen van lineaire afbeeldingen.