Directe som van twee lineaire deelruimten

Vectorruimten: Meer over deelruimten

Directe som van twee lineaire deelruimten

De Dimensiestelling voor lineaire deelruimten geeft een verband tussen de dimensies van de som en de doorsnede van twee lineaire deelruimten van een gegeven vectorruimte. We bekijken nu een speciale situatie, waarin twee deelruimten de hele vectorruimte opspannen en hun doorsnede triviaal (dat wil zeggen: $\{\vec{0}\}$ ) is.

De som $U+W$ van de lineaire deelruimten $U$ en $W$ van een vectorruimte $V$ heet direct als

$U+W =V$ en
$U\cap W = \{\vec{0}\}$ .

In dit geval heet $W$ een complement van $U$ in $V$ .

We schrijven $V = U\oplus W$ om aan te geven dat $V$ een directe som van $U$ en $W$ is.

$U$ is natuurlijk ook een complement van $W$ in $V$ .

Als $V = \mathbb{R}^2$ , $U =\linspan{\rv{1,0}}$ (de $x$ -as) en $W =\linspan{\rv{0,1}}$ (de $y$ -as), dan is $V$ de directe som van $U$ en $W$ .

In het algemeen is het complement van een deelruimte verre van uniek. Neem bijvoorbeeld $V = \mathbb{R}^2$ en $U=\linspan{\rv{1,0}}$ , de $x$ -as. Voor elk reëel getal $a$ is de lineaire deelruimte $W_a=\linspan{\rv{a,1}}$ een complement van $U$ . De $y$ -as, dat wil zeggen, de deelruimte $W_0$ , is dus maar één van vele complementen van $U$ in $V$ .

De vectorruimte $V$ is altijd een directe som van $V$ en $\{\vec{0}\}$ . Deze triviale directe som is niet interessant. Het gaat bij de directe som vaak om reductie van allerlei vragen over $V$ tot vragen over de twee deelruimten in de directe som. Zo kunnen we bijvoorbeeld een basis van $V$ maken door een basis van $U$ en een basis van $W$ te vinden; zie hieronder.

Voor meerdere lineaire deelruimten is de directe som ook gedefinieerd. Bijvoorbeeld, als $T$ , $U$ en $W$ lineaire deelruimten van $V$ zijn, dan noemen we $V$ de directe som van $T$ , $U$ en $W$ als $V = T\oplus (U+W) = U\oplus (T+W) = W\oplus(T+U)$ In het bijzonder is het niet voldoende te eisen dat elk tweetal van $T$ , $U$ en $W$ een directe som oplevert.

Als $V$ basis $\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}$ heeft, dan geldt

$V = \linspan{\vec{a}_1}\oplus \cdots\oplus\linspan{\vec{a}_n}$

De volgende uitspraken voor lineaire deelruimten $U$ en $W$ van een vectorruimte $V$ zijn equivalent.

$V = U\oplus W$
Voor elke vector $\vec{v}$ in $V$ zijn er unieke vectoren $\vec{u}$ in $U$ en $\vec{w}$ in $W$ , zodat $\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}$ .

Als $\dim{V}$ eindig is, dan is elk van deze uitspraken ook equivalent met elk van de volgende twee uitspraken:

$\dim{U}+\dim{W} = \dim{U+W} = \dim{V}$ .
Een basis van $U$ tezamen met een basis van $W$ is een basis van $V$ .

Stel $V= U\oplus W$ . Vanwege de definitie van de som van lineaire deelruimten zijn er vectoren $\vec{u}$ in $U$ en $\vec{w}\in W$ , zodat $\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}$ . Als $\vec{v} = \vec{u}_1+\vec{w}_1$ voor zekere vectoren $\vec{u}_1$ in $U$ en $\vec{w}_1\in W$ , dan volgt door herschrijving van de gelijkheid

$\vec{u}-\vec{u}_1=\vec{w}_1-\vec{w}\in U\cap W$

Omdat $U\cap W = \{\vec{0}\}$ , volgt hieruit $\vec{u}-\vec{u}_1 = \vec{w}_1-\vec{w}= \vec{0}$ , zodat $\vec{u}_1=\vec{u}$ en $\vec{w}_1=\vec{w}$ . De uniciteit van $\vec{u}$ en $\vec{w}$ is hiermee afgeleid.

Andersom: stel dat voor elke vector $\vec{v}$ in $V$ er unieke vectoren $\vec{u}$ in $U$ en $\vec{w}$ in $W$ zijn, zodat $\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}$ . Dan behoort elke $\vec{v}$ in $V$ tot $U+W$ , zodat $U+W = V$ . We laten nog zien dat $U\cap W = \{\vec{0}\}$ . Stel daartoe dat $\vec{u}\in U\cap W$ . Dan is $\vec{u}$ op twee manieren te schrijven als de som van een vector in $U$ en een vector in $W$ , namelijk

$\begin{array}{rclcrclcr}\vec{u}&=&\vec{0}&+&\vec{u} &=& \vec{u}&+&\vec{0} \\ &&\text{in}&&\text{in}&&\text{in}&&\text{in}\\ &&U&&W&&U&&W\end{array}$

De uniciteitsvoorwaarde betekent in dit geval dat $\vec{u}=\vec{0}$ . Dit bewijst dat $U\cap W$ gelijk is aan $\{\vec{0}\}$ .

Neem, voor het bewijs van de equivalentie van deze uitspraken met de derde uitspraak, eerst aan dat $\dim{U}+\dim{W} = \dim{U+W}$ . Dan geldt vanwege de Dimensiestelling voor lineaire deelruimten $\dim{U\cap W}=0$ , wat equivalent is met $U\cap W=\{\vec{0}\}$ . Als $\dim{U+W} = \dim{V}$ , dan moet $U+W= V$ gelden vanwege Eigenschap 1 van lineaire deelruimten. Hieruit concluderen we dat de gelijkheden $\dim{U}+\dim{W} = \dim{U+W} = \dim{V}$ tot gevolg hebben dat $V$ de directe som van $U$ en $W$ is.

Andersom, als $V=U\oplus W$ , dan geldt $\dim{U+W} = \dim{V}$ omdat $V = U+W$ en, vanwege de Dimensiestelling voor lineaire deelruimten, $0=\dim{U\cap W} = \dim{U}+\dim{W}-\dim{U+W} = \dim{U}+\dim{W}-\dim{V}$ zodat $\dim{V} = \dim{U}+\dim{W}$ . Hiermee hebben we beide gelijkheden $\dim{U+W} = \dim{V} = \dim{U}+\dim{W}$ afgeleid.

Tenslotte leiden we af dat deze derde uitspraak equivalent is met de laatste uitspraak. Als een basis van $U$ en een basis van $W$ tezamen een basis van $V$ vormen, dan heeft $V$ een basis van $\dim{U}+\dim{W}$ vectoren, zodat $\dim{V } = \dim{U}+\dim{W}$ . Omdat elke vector van $V$ geschreven kan worden als een lineaire combinatie van zo'n basis, is het ook een som van een vector uit $U$ en een vector uit $W$ , zodat $V = U+W$ , en dus ook $\dim{V} = \dim{U+W}$ .

Andersom: stel $\dim{U}+\dim{W} = \dim{U+W} = \dim{V}$ en laat $\basis{\vec{u_1},\ldots,\vec{u_m}}$ een basis van $U$ zijn en $\basis{\vec{w_1},\ldots,\vec{w_n}}$ een basis van $W$ . Omdat $U+W = V$ spant het samenstel $\basis{ \vec{u_1},\ldots,\vec{u_m},\vec{w_1},\ldots,\vec{w_n}}$ de hele vectorruimte $V$ op.

Stel nu dat een lineaire combinatie van deze vectoren gelijk aan nul is:

$\lambda_1\vec{u_1}+\cdots+\lambda_m\vec{u_m}+\mu_1\vec{w_1}+\cdots+\mu_n\vec{w_n} = \vec{0}$

waarbij $\lambda_1,\ldots,\lambda_m,\mu_1,\ldots,\mu_n$ scalairen zijn. Dan is $\lambda_1\vec{u_1}+\cdots+\lambda_m\vec{u_m}=-\mu_1\vec{w_1}-\cdots-\mu_n\vec{w_n}$ een vector van $U\cap W$ , wat gelijk is aan $\{\vec{0}\}$ , zodat de vector gelijk is aan $\vec{0}$ . Het linker lid is dus een lineaire combinatie van basisvectoren in $U$ , dus elke $\lambda_i$ is gelijk aan $0$ , en het rechter lid is een lineaire combinatie van basisvectoren in $W$ , dus elke $\mu_j$ is gelijk aan $0$ . Dit laat zien dat alle coëfficiënten van de lineaire combinatie gelijk aan $0$ moeten zijn, wat tot gevolg heeft dat het samenstel lineair onafhankelijk is. De conclusie is dat $\basis{ \vec{u_1},\ldots,\vec{u_m},\vec{w_1},\ldots,\vec{w_n}}$ een basis van $V$ is.

Laat $P$ de vectorruimte zijn van alle veeltermen in $x$ . Laat zien dat deze vectorruimte de directe som is van de lineaire deelruimten van even en oneven veeltermen:
$\begin{array}{rcl} U &=& \{f(x)\in P\mid f(-x) = f(x)\}\\ W &=& \{f(x)\in P \mid f(-x) = -f(x)\}\end{array}$

We laten eerst zien dat elke veelterm $f(x)$ in $P$ de som is van een even en een oneven veelterm. Bekijk daartoe de veeltermen $f_+(x) = \frac{1}{2}(f(x)+f(-x))\phantom{xx}\text{ en }\phantom{xx} f_-(x) = \frac{1}{2}(f(x)-f(-x))$
Uit $f_+(-x) = \frac{1}{2}(f(-x)+f(x)) = f_+(x)$ volgt dat $f_+(x)$ even is en uit $f_-(-x) = \frac{1}{2}(f(-x)-f(x)) = -f_-(x)$ dat $f_-(x)$ oneven is. Hiermee hebben we laten zien dat $P = U+W$ .

Om het bewijs af te maken dat $P$ de directe som van $U$ en $W$ is moeten we nog laten zien dat $U\cap W$ alleen uit de nulvector bestaat. Als $f(x)\in U\cap W$ , dan geldt $\begin{array}{rcl}f(x)& =& f(-x)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{f(x)\in U}\\&=&-f(x)\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{f(x)\in W}\end{array}$ dus $2f(x) = 0$ , waaruit volgt dat $f(x) = 0$ . Het bewijs is hiermee klaar.

Nieuw voorbeeld