Het begrip complex getal

Complexe getallen: Invoering van de complexe getallen

Het begrip complex getal

We hebben inmiddels kennis gemaakt met imaginaire getallen, waaronder de imaginaire eenheid $\ii$ . We kunnen dergelijke getallen met reële getallen vermenigvuldigen, zodat de vereniging van de reële en imaginaire getallen aan het eerste en vierde kenmerk van complexe getallen voldoet. Maar we kunnen nog geen reële getallen bij imaginaire getallen optellen. Om aan alle vier de kenmerken te kunnen voldoen, gaan we over op meetkunde. In het bijzonder wordt het platte vlak nu gebruikt om complexe getallen te definiëren.

We plaatsen een loodrecht assenstelsel in het platte vlak. Van dit assenstelsel noemen we de horizontale as (de $x$ -as) de reële as en de verticale as (de $y$ -as) de imaginaire as.

Ieder punt in het vlak wordt ten opzichte van dit assenstelsel bepaald door twee coördinaten $a$ en $b$ , die reëel zijn. We noemen het punt $\rv{a,b}$ een complex getal. In de regel zullen we het punt $\rv{a,b}$ noteren in de standaardvorm $a+b\cdot\ii$ : $\rv{a,b}=a+b\cdot\ii\tiny.$ Hierin worden $a$ en $b$ respectievelijk het reële en imaginaire deel van het complexe getal genoemd.

Als het complexe getal niet gebruikt wordt als invoer in een antwoordveld, schrijven we $a+b\cdot\ii$ soms kortweg zonder punt voor de vermenigvuldiging van $b$ en $\ii$ , dus als $a+b\ii$ . We noemen $\rv{a,b}$ wel de Cartesische coördinaten van het complexe getal.

De punten $\rv{a,0}$ op de eerste as noteren we eenvoudigweg met $a$ en
de punten $\rv{0,b}$ op de tweede as met $b\cdot\ii$ of soms alleen met $b\ii$ .

In het bijzonder is de één, $1$ , gelijk aan het punt $\rv{1,0}$ en is de imaginaire eenheid, $\ii$ , gelijk het punt $\rv{0,1}$ .

Voor een complex getal gebruiken we vaak de letter $z$ of $w$ . De verzameling complexe getallen wordt aangegeven met $\mathbb{C}$ .

Als we het platte vlak als de verzameling complexe getallen opvatten, dan noemen we het vlak vaak het complexe vlak.

Meetkundig zien we hier hoe de complexe getallen een uitbreiding zijn van de reële getallen $\mathbb R$ : de gebruikelijke getallenlijn wordt geïdentificeerd met de reële as, de $x$ -as dus, in het platte vlak. Het vlak wordt, op zijn beurt, geïdentificeerd met $\mathbb C$ .

De imaginaire getallen, die van de vorm $r\cdot\ii$ met $r$ een reëel getal zijn, worden geïdentificeerd met de imaginaire as, de $y$ -as dus, op zo'n manier dat $r\cdot\ii$ met $r\gt0$ boven de $x$ -as uitsteekt.

Alle andere complexe getallen zijn een som van een reëel en een imaginair getal: $a+b\cdot\ii$ correspondeert met het punt $\rv{a,b}$ van het vlak: $\rv{a,b}=a\cdot \rv{1,0}+b\cdot\rv{0,1}=a\cdot 1+b\cdot\ii=a+b\cdot \ii\tiny.$

Hieruit volgt dat voor alle reële getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ geldt: $a+b\cdot\ii=c+d\cdot\ii\phantom{xx}\text{ dan en slechts dan als }\phantom{xx}a=c \text{ en }b=d\tiny.$

Nu we vastgelegd hebben wat we onder $\mathbb C$ als verzameling verstaan, zullen we $\mathbb{C}$ voorzien van een optelling en een vermenigvuldiging. Zoals in het derde en vierde kenmerk vermeld, moeten die bewerkingen samenvallen met de bekende bewerkingen op $\mathbb R$ (de reële as) en overeenstemmen met $\ii^2=-1$ .

Optellen en aftrekken van twee complexe getallen

Laat $z_1 =a_1 + b_1\cdot \ii$ en $z_2 =a_2 +b_2\cdot \ii$ twee complexe getallen zijn, waarbij $a_1$ , $a_2$ , $b_1$ , $b_2$ reële getallen zijn.

De som van $z_1$ en $z_2$ of het resultaat van de optelling van $z_2$ bij $z_1$ $z_1+z_2 = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)\cdot \ii$ .
Het verschil van $z_1$ en $z_2$ of het resultaat van de aftrekking van $z_2$ van $z_1$ is $z_1-z_2 = (a_1-a_2)+(b_1-b_2)\cdot \ii$ .

Het complexe getal $-z_1$ staat voor $0-z_1$ .

Optelling en aftrekking van complexe getallen zijn dus respectievelijk de coördinaatsgewijze optelling en aftrekking in het vlak. Met andere woorden, dit zijn de bekende vector-optelling en -aftrekking. Bijvoorbeeld, $(1 +\ii) + (-2 + 4 \ii) = -1 + 5 \ii$ .

Merk op dat $-z_1=-a_1+(-b_1)\cdot\ii=-a_1-b_1\cdot\ii$ en dat $z_1-z_1=0$ .

We definiëren het product of het resultaat van vermenigvuldiging van twee complexe getallen $z_1 = a_1 + b_1 \cdot\ii$ en $z_2 =a_2 +b_2\cdot \ii$ door
$z_1\cdot z_2 =(a_1\cdot a_2-b_1\cdot b_2)+(a_1\cdot b_2+a_2\cdot b_1)\cdot \ii\tiny.$

Dit lijkt een ingewikkelde formule, maar hij is eenvoudig te onthouden. Werk het product $(a_1+b_1\cdot\ii)\cdot (a_2+b_2\cdot\ii)$ uit, gebruikmakend van de rekenregels voor reële getallen en de extra eigenschap $\ii^2=-1$ ; daaruit volgt dan de formule van het rechter lid. Bijvoorbeeld:
$\begin{array}{rclcl} (1+\ii)\cdot (-2 + 4 \ii) &=& -2 + 4\ii + (-2)\cdot\ii + \ii \cdot(4\ii)&&\phantom{x}\color{blue}{\text{haakjes weggewerkt}}\\&=& -2 + 2\ii + 4\cdot(\ii)^2&&\phantom{x}\color{blue}{\text{termen met }\ii\text{ bij elkaar}}\\&=& -2 + 2\ii - 4&&\phantom{x}\color{blue}{\ii^2=-1}\\&=&-6 + 2 \ii&&\phantom{x}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\end{array}$

De notatie " $\cdot$ ", die hier gebruikt wordt voor de complexe vermenigvuldiging, kan verwarring wekken met het inproduct voor vectoren ter lengte twee. De twee geven een verschillend resultaat. In het bijzonder is de waarde van het inproduct altijd een reëel getal. We zullen in dit hoofdstuk de notatie " $\cdot$ " voor het inproduct daarom zoveel mogelijk vermijden.

Als $z_1$ een reëel getal is, dan valt het product samen met de scalaire vermenigvuldiging van de vector $z_2$ met de scalar $z_1$ :

$z_1\cdot z_2 =(a_1\cdot a_2-0\cdot b_2)+(a_1\cdot b_2+a_2\cdot 0)\cdot \ii=(z_1\cdot a_2)+(z_1\cdot b_2)\cdot \ii\tiny.$

Hiermee is het doel bereikt voor wat betreft optelling en vermenigvuldiging:

De algebraïsche structuur van de complexe getallen

Voor de optelling en de vermenigvuldiging van complexe getallen (en hun interactie) gelden dezelfde rekenregels als voor de reële getallen, met de extra eigenschap $\ii^2=-1$ .

Denk voor wat betreft rekenregels voor optelling en aftrekking aan de volgende drie regels:

De optelling van twee complexe getallen is commutatief: voor alle complexe getallen $z$ en $w$ geldt $z+w=w+z$ .
De optelling is ook associatief: voor alle complexe getallen $z_1, z_2, z_3$ geldt $(z_1+z_2)+z_3 = z_1 + (z_2+z_3)$ .
Voor elk complex getal $z$ geldt $0+z=z$ en $z+(-z) = 0$ .

Door uitschrijven zijn deze regels eenvoudig na te gaan, al kost het soms wat schrijfwerk. De laatste bijvoorbeeld, kan als volgt nagegaan worden:

$\begin{array}{rclcl}z+(-z)&=&a+b\cdot\ii+\left(-a+(-b)\cdot\ii\right)&&\phantom{xyzxyz}\color{blue}{\text{definitie }-z}\\&=&\left(a+(-a)\right)+\left(b+(-b)\right)\cdot\ii&&\phantom{xyzxyz}\color{blue}{\text{opgeteld}}\\&=&0+0\cdot\ii&&\phantom{xyzxyz}\color{blue}{\text{vereenvoudigd }}\\&=&0&&\end{array}$

Het feit dat $\ii^2=-1$ volgt uit de volgende berekening: $\begin{array}{rclcl}\ii^2&=&\ii\cdot \ii&\phantom{q}&\color{blue}{\text{definitie kwadraat}}\\&=&(0+1\cdot\ii)\cdot(0+1\cdot\ii)&\phantom{q}&\color{blue}{\ii\text{ in standaardvorm geschreven}}\\&=&(0\cdot 0-1\cdot 1)+(0\cdot 1+1\cdot 0)\cdot\ii&\phantom{q}&\color{blue}{\text{definitie complexe vermenigvuldiging}}\\&=&-1&\phantom{q}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\end{array}$

Naast commutativiteit ( $w\cdot z=z\cdot w$ ) en associativiteit $\left((z_1\cdot z_2)\cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2\cdot z_3)\right)$ van de vermenigvuldiging is de zogenaamde distributiviteit van de vermenigvuldiging over de optelling een voorbeeld van een rekenregel die ook geldt voor alle complexe getallen $z_1, z_2, z_3$ : $z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1\cdot z_2 + z_1\cdot z_3\tiny.$

Teken het complexe getal $z=-3-2\cdot \ii$ als een punt in het complexe vlak.

Nieuw voorbeeld