Complexe getallen: Invoering van de complexe getallen
Reëel en imaginair deel
In de theorie Het begrip complex getal kwamen we de volgende twee definities al tegen. Nu voeren we ook een notatie in.
Reëel en imaginair deel Als #z=a+b\ii# met #a,b\in\mathbb{R}#, dan
- heet #a# het reële deel van #z#; het wordt het genoteerd als #\Re(z)#, en
- heet #b# het imaginaire deel van #z#; het wordt genoteerd als #\Im (z)#.
#\Re# en #\Im# zijn dus reëelwaardige functies op #\mathbb{C}#; het zijn de Cartesische coördinaten van het complexe getal.
Het imaginaire gedeelte van een complex getal is een reëel getal.
- #\Re (z+w)=\Re (z)+\Re (w)#
- #\Re (z\cdot w)=\Re (z)\cdot \Re (w)-\Im (z)\cdot\Im (w)#
- #\Im (z+w)=\Im (z)+\Im (w)#
- #\Im (z\cdot w)=\Re (z)\cdot \Im (w)+\Im (z)\cdot\Re (w)#
- Als #z# reëel is, dan geldt #\Re (z\cdot w)=z\cdot \Re (w)#
Deze eigenschappen volgen direct uit de definities.
De laatste eigenschap is een gevolg van de tweede, want als #z# reëel is, dan gelden #\Re(z)=z# en #\Im(z)=0#.
Het volgende begrip is van nut bij de beschrijving van de overgang tussen Cartesische coördinaten en poolcoördinaten:
Gelijk modulo een reëel getal
Om uit te drukken dat twee reële getallen #a# en #b# een geheel veelvoud van #2\pi# van elkaar verschillen, schrijven we
\[a=b \mod(2\pi)\tiny.\]We zeggen dan dat #a# en #b# gelijk zijn modulo #2\pi#.
De getallen #-\frac{\pi}{2}# en #\frac{7\pi}{2}#, bijvoorbeeld, zijn gelijk modulo #2\pi#.
Dezelfde definitie geldt voor gehele getallen: een even geheel getal is gelijk aan #0# modulo #2#.
Elk reëel getal is gelijk modulo #2\pi# aan precies één getal in #\ivoc{-\pi}{\pi}#.
Uit de absolute waarde #r=|z|# en een argument #\varphi# van een complex getal #z# zijn het reële en imaginaire gedeelte als volgt te vinden:\[\begin{array}{lcl} \Re (z)=r\cdot\cos (\varphi) &,\qquad& \Im (z)=r\cdot\sin (\varphi) \end{array}\tiny.\]
Omgekeerd vinden we uit het reële en imaginaire gedeelte de absolute waarde van #z# met de formule
\[
|z|= \sqrt{\Re (z)^2+\Im (z)^2}\tiny.
\]Als #z\ne0#, dan is het argument #\varphi=\arg(z)# modulo #2\pi# bepaald door \[\begin{array}{rcl}\cos(\varphi)=\frac{\Re(z)}{|z|}&,\qquad&\sin(\varphi)=\frac{\Im(z)}{|z|}\end{array}\tiny.\]In de praktijk volstaan deze gegevens om #\arg(z)# te bepalen. Het is ook mogelijk de volgende meer ingewikkelde formule te gebruiken:\[\arg(z)=\begin{cases}\pi&\text{als } z\text{ op de negatieve reële as ligt}\\ 2\arctan\left(\frac{\Im (z)}{|z|+\Re (z)}\right)&\text{anders }\end{cases}\]
Vaak denkt men dat de hoofdwaarde van het argument gegeven wordt door de formule\[
\arg(z)=\arctan \left( \frac{\Im (z)}{\Re (z)}\right)\tiny.
\]
Dit is wel waar als #\Re (z)\gt0#, maar in andere gevallen niet. Ga dit zelf na aan de hand van het complexe getal #-1-\ii#.
We geven nog een bewijs van de uitspraak dat #\arg(z)=2\arctan\left(\frac{\Im (z)}{|z|+\Re (z)}\right)# als #z# niet op de negatieve reële as ligt. We maken daarbij gebruik van de formule\[\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}\tiny.\]
Deze laatste formule volgt uit de bekende dubbelehoekformules:\[\begin{array}{rcl}\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)&=&\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\\ &&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{definitie tangens}}\\ &=&\frac{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\\ &&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{teller en noemer vermenigvuldigd met }2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\\&=&\frac{\sin\left({\alpha}\right)}{1+\cos\left(\alpha\right)}\\&&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\cos(2x) =2\cos(x)^2-1\text{ en }\sin(2x)=2\sin(x)\cdot\cos(x)}\\ \end{array}\]
#\varphi=\arg(z)# wordt bepaald door de voorwaarden\[\begin{array}{rcl}\cos(\varphi)&=&\frac{\Re(z)}{|z|}\\ \sin(\varphi)&=&\frac{\Im(z)}{|z|}\\ \varphi&\in&\ivoc{-{\pi}}{{\pi}}\tiny.\end{array}\]Uit de eerste twee voorwaarden volgt \[\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\frac{\sin(\varphi)}{1+\cos(\varphi)}=\frac{ \frac{\Im(z)}{|z|} }{1+\frac{\Re(z)}{|z|}}=\frac{\Im(z)}{|z|+\Re(z)}\tiny.\] Uit de derde voorwaarde volgt #\frac{\varphi}{2}\in\ivoc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}#.
Volgens de theorie Inverse goniometrische functies is de functie #\arctan# de inverse van #\tan# op #\ivoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}#. Daarom geldt, voor #\varphi\ne\pi#, dus voor #z# niet op de negatieve reële as, \[\varphi = 2\arctan\left(\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)=2\arctan\left(\frac{\Im(z)}{|z|+\Re(z)}\right)\tiny.\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
