Rekenen met poolcoördinaten

Complexe getallen: Rekenen met complexe getallen

Rekenen met poolcoördinaten

Complexe getallen in de standaardvorm zijn makkelijk op te tellen, maar vermenigvuldiging is iets ingewikkelder. Als we poolcoördinaten gebruiken, is de situatie omgekeerd: optellen is lastig, maar vermenigvuldigen is makkelijk geworden.

Vermenigvuldiging in poolcoördinaten

De vermenigvuldiging van twee complexe getallen $z_1$ en $z_2$ kan als volgt beschreven worden in termen van hun abolute waarden $|z_1 |$ en $|z_2|$ en hun argumenten $\varphi_1$ en $\varphi_2$ .
$\begin{array}{rcl} |z_1\cdot z_2|&=& |z_1| \cdot |z_2|,\\ \arg(z_1\cdot z_2) & = &\arg (z_1)+\arg(z_2) \pmod{2\pi} \end{array}$
Door herhaald toepassen van deze regels vinden we voor $n$ complexe getallen $z_1,z_2, \ldots ,z_n$ :
$\begin{array}{rcl}|z_1\cdot z_2 \cdots z_n |&=& |z_1|\cdot \ |z_2|\cdots |z_n |,\\ \arg(z_1\cdot z_2 \cdots z_n ) & =& \arg (z_1)+\arg(z_2) + \cdots + \arg(z_n) \, \pmod{2\pi}\end{array}$

We weten dat de standaardvorm van $z_1$ en $z_2$ in termen van de poolcoördinaten gegeven wordt door $\begin{array}{l}z_1=|z_1|\cdot\cos\left(\varphi_1\right)+|z_1|\cdot\sin\left(\varphi_1\right)\cdot\ii\\ z_2=|z_2|\cdot\cos\left(\varphi_2\right)+|z_2|\cdot\sin\left(\varphi_2\right)\cdot\ii\end{array}$ Hieruit volgt met behulp van de additieformules voor goniometrische functies:
$\begin{array}{rcl}z_1\cdot z_2 & =& |z_1|\cdot |z_2|\cdot\Big(\cos(\varphi_1)\cos(\varphi_2)-\sin(\varphi_1)\sin(\varphi_2)\\ & &\phantom{4cmxxx}+\big(\cos(\varphi_1)\cdot\sin(\varphi_2)+\cos(\varphi_2)\cdot\sin(\varphi_1)\big)\cdot\ii\Big)\\&&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{complexe vermenigvuldiging}}\\ & &= |z_1| \cdot |z_2|\cdot\Big(\cos (\varphi_1+\varphi_2)+\sin (\varphi_1+\varphi_2)\cdot\ii\Big) \\ &&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{goniometrische additieformules}}\\ \end{array}$

Bij rekenen met complexe getallen kun je steeds een keuze maken of je de representatie in Cartesische coördinaten of in poolcoördinaten gaat gebruiken. Ruwweg kun je daarbij de volgende vuistregels hanteren:

als de berekening hoofdzakelijk optellingen bevat, dan is gebruik van Cartesische coördinaten raadzaam;
als de berekening hoofdzakelijk vermenigvuldigingen bevat, dan is rekenen in poolcoördinaten aan te bevelen.

Bij het oplossen van vergelijkingen speelt een rol dat

twee complexe getallen in de standaardvorm aan elkaar gelijk zijn dan en slechts dan als zowel de reële als imaginaire delen aan elkaar gelijk zijn.
twee complexe getallen die ongelijk aan $0$ zijn, aan elkaar gelijk zijn dan en slechts dan als ze dezelfde absolute waarden hebben en de argumenten gelijk zijn modulo $2 \pi$ .

Met deze eigenschappen kunnen we complexe vergelijkingen omzetten in reële vergelijkingen. Dat is overigens niet altijd handig of nodig.

Los de vergelijking $z^2=2\,\ii$ in de complexe onbekende $z$ op.

Eerste oplossing: Bij deze oplossing schrijven we $z=x+y\cdot\ii$ met $x$ en $y$ reëel en vullen we in:
$x^2 +2x\cdot y\cdot\ii -y^2 = 2 \ii\tiny.$
Gelijkstellen van de reële en imaginaire delen levert de twee vergelijkingen
$\eqs{x^2-y^2 &=&0\cr 2x\cdot y &=& 2}$ Uit de eerste vergelijking met de reële onbekenden $x$ en $y$ volgt $x =y$ of $x=-y$ . Invullen in de tweede geeft $x^2 =1$ en $x^2=-1$ . De vergelijking $x^2 =-1$ heeft geen (reële!) oplossingen en de vergelijking $x^2 =1$ leidt tot $x=1$ of $x=-1$ . Wanneer we deze resultaten terugvertalen naar $z=x+y\cdot\ii$ , vinden we de oplossing $z=1 +\ii\,\lor \,z=-1-\ii\tiny,$ waarbij $\lor$ de logische "of" is.

Tweede oplossing: Gebruik makend van de absolute waarde en het argument redeneren we als volgt.
$\begin{array}{rcl} z^2 \phantom{x}&=& \phantom{x}2\,\ii \\ |z^2| =2 \phantom{x} &\text{en}& \phantom{x} \arg(z^2)=\frac{\pi}{2} +2k\cdot\pi \phantom{x} (k\text{ geheel}) \\ |z|^2 = 2 \phantom{x}&\text{en}& \phantom{x}2\arg(z) =\frac{\pi}{2} +2k\cdot\pi\phantom{x} (k\text{ geheel})\\ |z| = \sqrt{2} \phantom{x} &\text{en}&\phantom{x}\arg(z) =\frac{\pi}{4} +k\cdot\pi \phantom{x}(k\text{ geheel}) \end{array}$
Hieruit volgt de oplossing:
$z=\sqrt{2}\, \left(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) +\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot\ii\right) \, \lor \, z= \sqrt{2}\, \left(\cos \left (\frac{5\pi}{4}\right) +\sin \left(\frac{5\pi}{4}\right)\cdot\ii\right)\tiny.$
Hier gebruiken we enkel de waarden $k=0$ en $k=1$ , omdat we voor $k=2$ weer dezelfde oplossing vinden als voor $k=0$ , voor $k=3$ dezelfde oplossing als voor $k=1$ , enzovoorts.

Ga na dat de twee complexe getallen dezelfde zijn als beschreven in de eerste oplossing.

Nieuw voorbeeld