Het quotiënt

Complexe getallen: Rekenen met complexe getallen

Het quotiënt

In het streven om alle bewerkingen die van de reële getallen bekend zijn ook bij de complexe getallen toe te passen, moet ook deling aan de orde komen. Voor ieder complex getal $w\neq 0$ bestaat ook de inverse $\frac{1}{w}$ . Daarom kunnen we met breuken van complexe getallen werken.

Quotiënt

Als $z$ en $w$ complexe getallen zijn met $w\ne0$ , dan geven we met $\frac{z}{w}$ het complexe getal aan dat door de volgende poolcoördinaten is vastgelegd: $\begin{array}{rclcl} \left|\frac{z}{w}\right| & =&\frac{|z|}{|w|}&\phantom{xx}&\color{blue}{\text{absolute waarde}} \\ \arg\left (\frac{z}{w}\right) & =&\arg (z) -\arg (w) \, \pmod{2\pi}&\phantom{xx}&\color{blue}{\text{argument}} \end{array}$ Dit getal heet het quotiënt van $z$ naar $w$ of het resultaat van deling van $w$ op $z$ .

Dit getal gedraagt zich, zoals de notatie als breuk suggereert, als het gebruikelijke quotiënt:

Als $z$ en $w$ complexe getallen zijn met $w\ne0$ , dan geldt $w\cdot\frac{z}{w} =z$ .

Bewijs: Dit volgt direct uit de vermenigvuldigingswetten: $\begin{array}{rcl} \left|w\cdot \frac{z}{w}\right| &=&|w|\cdot \left| \frac{z}{w}\right|\\ &=&|w|\cdot\frac{|z|}{|w|}\\ &=&|z|\ ,\\ \arg \left(w\cdot \frac{z}{w}\right) &=&\arg(w)+\arg\left(\frac{z}{w}\right)\\ &=&\arg (w)+\arg (z) -\arg (w) \, \pmod{2\pi}\\ &=&\arg (z) \pmod{2\pi} \end{array}$ Hieruit blijkt immers dat $w\cdot\frac{z}{w}$ en $z$ dezelfde poolcoördinaten hebben.

Voor dit quotiënt gelden de gebruikelijke rekenregels; bijvoorbeeld:
$\begin{array}{rcl} \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{w_1}{w_2} &=& \frac{z_1\cdot w_1}{z_2 \cdot w_2}\\ \frac{z}{1}&=&z\end{array}$

De bewijzen kunnen gevoerd worden door links en rechts de absolute waarde en het argument te berekenen en vast te stellen dat ze gelijk zijn (dat wil zeggen: modulo $2\pi$ voor het argument).

We kunnen van $\frac{w}{z}$ ook de Cartesische coördinaten opsporen. Omdat $\frac{w}{z}=\frac{w}{1}\cdot\frac{1}{z}={w}\cdot\frac{1}{z}$ en de vermenigvuldiging van twee getallen in de standaardvorm bekend is, hebben we genoeg aan de standaardvorm voor $\frac{1}{z}$ .

Stel dat $a$ en $b$ reële getallen zijn die niet beide nul zijn. Dan is
$\frac{1}{a+b\ii}=\frac{a-b\ii}{a^2+b^2}\tiny.$

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{a+b\ii}&=&\frac{1}{a+b\,\ii}\\ &=&\frac{a-b\,\ii}{(a+b\,\ii)\cdot(a-b\,\ii)}\\&&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{teller en noemer met }a-b\,\ii\text{ vermenigvuldigd}} \\&=&\frac{a-b\,\ii}{a^2+b^2}\end{array}$

Net als met reële getallen kunnen we nu lineaire vergelijkingen oplossen met een onbekende die complexe waarden aanneemt. Hieronder komen enkele voorbeelden aan bod.

Schrijf het complexe getal $\frac{1}{4+\ii }$ in de standaardvorm.

$\frac{1}{4+\ii }={{4}\over{17}}-{{1}\over{17}}\,{\ii}$

We berekenen dit als volgt: $\begin{array}{rclcl}\frac{1}{4+\ii } &=& \frac{1}{4+\ii }\cdot \frac{4-\mathrm{i}}{4-\mathrm{i}}& &\color{blue}{\text{vermenigvuldigd met }1}\\ &=& \frac{4-\mathrm{i}}{(4+\ii )\cdot(4-\mathrm{i})} &&\color{blue}{\text{breuken vermenigvuldigd}}\\ &=& \frac{4-\mathrm{i}}{4^2-(\mathrm{i})^2}&&\color{blue}{\text{merkwaardig product}}\\ &=&\frac{4-\mathrm{i}}{4^2+1^2}&&\color{blue}{{\ii}^2=-1}\\ &=&\frac{4-\mathrm{i}}{17}& &\color{blue}{\text{noemer vereenvoudigd}} \\ &=&{{4}\over{17}}-{{1}\over{17}}\,{\ii}&& \color{blue}{\text{in de standaardvorm}} \end{array}$

Nieuw voorbeeld