Complexe getallen: Rekenen met complexe getallen
Meetkundige interpretatie
Laat #z# en #w# twee complexe getallen zijn. De absolute waarde #|z -w|# heeft als meetkundige interpretatie de afstand van #z# tot #w#. Immers, #|z - w| = \sqrt{(\Re(z)-\Re(w))^2 + (\Im(z)-\Im(w))^2}#, terwijl de stelling van Pythagoras leert dat dit de afstand is van #z# tot #w#. Van deze interpretatie maken we gebruik om de cirkel in het platte vlak met een complexe vergelijking te beschrijven.
Cirkels en lijnen in termen van poolcoördinaten
Laat #a# en #b# reële getallen zijn en schrijf #w=a+b\cdot\ii#.
- Laat #r# een niet-negatief reëel getal zijn. De verzameling complexe getallen #z=x+y\cdot\ii#, met #x# en #y# reëel, die de cirkel met straal #r# en middelpunt #\rv{a,b}# vormt, wordt niet alleen gegeven door de reële vergelijking \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\tiny,\]maar ook door de complexe vergelijking\[\left|z-w\right|=r\tiny.\]
- Laat #\varphi# een reëel getal zijn. De verzameling complexe getallen #z=x+y\cdot\ii#, met #x# en #y# reëel, die de lijn door #\rv{a,b}# met richtingscoëfficiënt #\tan(\varphi)# vormt, wordt niet alleen gegeven door de reële vergelijking \[\sin(\varphi)\cdot(x-a)-\cos(\varphi)\cdot(y-b) =0\tiny,\]maar ook door #z=w# en de oplossingen van de complexe vergelijking\[\arg(z-w)=\varphi\pmod{\pi}\tiny.\]
We zeggen dan dat de cirkel gedefinieerd wordt door de vergelijking #\left|z-w\right|=r# met onbekende #z# en dat de lijn gedefinieerd door #\arg(z-w)=\varphi\pmod{\pi}#.
We nemen aan dat de afleidingen van de reële vergelijkingen bekend zijn en concentreren ons op de complexe:
1. De vergelijking #|z-(a+b\cdot\ii) | = r# met onbekende #z# heeft als oplossingen precies die complexe getallen #z# die afstand #r# tot #a+b\cdot\ii# hebben. Dit is een cirkel met middelpunt #\rv{a,b}# en straal #r#.
2. De vergelijking #\arg(z-w)=\varphi\pmod{\pi}# met onbekende #z# heeft als oplossingen de complexe getallen van de vorm #z=w+\lambda\cdot\left(\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\cdot\ii\right)#, waarbij #\lambda# een reëel getal ongelijk aan #0# is. Maar #\lambda=0# komt ook voor omdat we #z=w# toelaten. Zo krijgen we de lijn door #w# met richtingsvector #\rv{\cos(\varphi),\sin(\varphi)}# en dus met richtingscoëfficiënt #\tan(\varphi)#.
De afleidingen van de bijbehorende reële vergelijkingen zijn bekend uit de theorie voor cirkels, respectievelijk lijnen, in het vlak.
Let op de keuze #\pmod{\pi}# in plaats van #\pmod{2\pi}#: hierdoor wordt de richting van de lijn verwaarloosd, die voor de poolcoördinaten juist wel van belang is om punten uniek te kunnen beschrijven.
Als #\varphi=\pm\frac{\pi}{2}#, dan is #\tan(\varphi)# niet gedefinieerd en de richtingscoëfficiënt dus evenmin. Maar de richtingsvector is dan #\rv{\pm1,0}#, zodat er geen probleem is (behalve dat de lijn geen grafiek van een lineaire functie is).
Voor de lijn is er natuurlijk ook een overeenkomstig resultaat zonder #\arg(z)#: als #a#, #b# en #c# reële getallen zijn met #a# en/of #b# ongelijk aan #0#, dan is #a\cdot x+b\cdot y+c=0# de vergelijking van een lijn. De verzameling complexe getallen #z=x+y\cdot\ii#, met #x# en #y# reëel, die deze lijn vormt, kan beschreven worden met de vergelijking #a\cdot\Re(z) +b\cdot\Im(z)+c=0#, of, iets compacter, met #\Re\left(\left(a-b\,\ii\right)\cdot z\right)+c=0#.
De vergelijking #|z - a| = |z-b|# heeft als oplossingen alle punten #z# die dezelfde afstand tot #a# en #b# hebben. Dit is de middelloodlijn tussen #a# en #b#. Ook andere objecten in het platte vlak, zoals ellipsen en middelloodlijnen, zijn in complexe formules te vatten, zoals uit enkele opgaven zal blijken.
De straal is \(2\)
Als \(z=x+y\,\ii\) de standaardvorm van #z# is, dan betekent de vergelijking \[|z+1-2\cdot \ii|=2\] volgens de definitie van de absolute waarde van een complex getal dat \[\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\] Dit is precies de vergelijking van een cirkel met middelpunt \(\rv{-1,2}\) en straal \(2\).
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
