We nemen aan dat de afleidingen van de reële vergelijkingen bekend zijn en concentreren ons op de complexe:

1. De vergelijking $|z-(a+b\cdot\ii) | = r$ met onbekende $z$ heeft als oplossingen precies die complexe getallen $z$ die afstand $r$ tot $a+b\cdot\ii$ hebben. Dit is een cirkel met middelpunt $\rv{a,b}$ en straal $r$.

2. De vergelijking $\arg(z-w)=\varphi\pmod{\pi}$ met onbekende $z$ heeft als oplossingen de complexe getallen van de vorm $z=w+\lambda\cdot\left(\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\cdot\ii\right)$, waarbij $\lambda$ een reëel getal ongelijk aan $0$ is. Maar $\lambda=0$ komt ook voor omdat we $z=w$ toelaten. Zo krijgen we de lijn door $w$ met richtingsvector $\rv{\cos(\varphi),\sin(\varphi)}$ en dus met richtingscoëfficiënt $\tan(\varphi)$.

De afleidingen van de bijbehorende reële vergelijkingen zijn bekend uit de theorie voor cirkels, respectievelijk lijnen, in het vlak.

Let op de keuze $\pmod{\pi}$ in plaats van $\pmod{2\pi}$: hierdoor wordt de richting van de lijn verwaarloosd, die voor de poolcoördinaten juist wel van belang is om punten uniek te kunnen beschrijven.

Als $\varphi=\pm\frac{\pi}{2}$, dan is $\tan(\varphi)$ niet gedefinieerd en de richtingscoëfficiënt dus evenmin. Maar de richtingsvector is dan $\rv{\pm1,0}$, zodat er geen probleem is (behalve dat de lijn geen grafiek van een lineaire functie is).

Voor de lijn is er natuurlijk ook een overeenkomstig resultaat zonder $\arg(z)$: als $a$, $b$ en $c$ reële getallen zijn met $a$ en/of $b$ ongelijk aan $0$, dan is $a\cdot x+b\cdot y+c=0$ de vergelijking van een lijn. De verzameling complexe getallen $z=x+y\cdot\ii$, met $x$ en $y$ reëel, die deze lijn vormt, kan beschreven worden met de vergelijking $a\cdot\Re(z) +b\cdot\Im(z)+c=0$, of, iets compacter, met $\Re\left(\left(a-b\,\ii\right)\cdot z\right)+c=0$.