In deze definitie gebruiken we de $\e$-macht, die bekend is van de reële getallen.

Als $z$ een reëel getal is, dan is $|\e^z|=\e^z$ en $\arg (\e^z)=0$, wat samenvalt met de bekende, reële, $\e$-macht. Derhalve is de definitieverzameling van de $\e$-macht uitgebreid van $\mathbb{R}$ naar $\mathbb{C}$. Met andere woorden: het domein van de functie $\exp$ is $\mathbb{C}$.

Omdat de reële $\e$-macht nooit gelijk is aan $0$, is de complexe $\e$-macht ook nooit gelijk aan $0$: $$|\e^z |=\e^{{\Re}(z)} \neq 0\tiny.$$ Een getal waarvan de absolute waarde ongelijk aan $0$ is, is dus zelf ook ongelijk aan $0$.

Bewijs: Het rechter lid heeft absolute waarde $1$ en argument $\varphi$. We gaan na dat het linker lid dezelfde absolute waarde en hetzelfde argument modulo ${2\pi}$ heeft.

$$\begin{array}{rcl}\left|\e^{\varphi\cdot\ii}\right|&=&\e^0=1\\ \arg\left(\e^{\varphi\cdot\ii}\right) &=& \Im\left(\varphi\cdot\ii\right)=\varphi\pmod{2\pi}\end{array}$$

De laatste opmerking volgt uit het feit dat het complexe getal met absolute waarde $r$ en argument $\varphi$ uit de theorie van poolcoördinaten bekend is als $r\cdot\cos(\varphi)+r\cdot\sin(\varphi)\cdot\ii$, wat gelijk is aan $r\cdot\left(\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\cdot\ii\right)$, en nu dus herschreven kan worden als $r\cdot\e^{\varphi\cdot\ii}$.

Met behulp van de absolute waarde $|z|$ en de hoofdwaarde van het argument $\arg(z)$ is de polaire vorm van $z$ ook te schrijven als

$$z=|z|\cdot\e^{\arg(z)\cdot\ii}\tiny.$$

Voorbeeld: $2^{\ii} = \e^{\ln(2)\cdot\ii} = \cos(\ln(2))+\sin(\ln(2))\cdot\ii$.

Als $z$ een reëel getal is, dan komt deze definitie overeen met de bekende:

$$r^z=\left(\e^{\ln(r)}\right)^{z}=\e^{\ln(r)\cdot z}\tiny.$$

Later, als we de complexe logaritme invoeren, kunnen we $\ln(r)$ gebruiken als in bovenstaande formule om de complexe macht van een complex getal $r$ de definiëren. De mogelijkheden voor het grondtal $r$ in de formule zijn daarmee niet meer beperkt tot een positief reëel getal. Dat is ten dele al eerder gebeurd voor $z=\frac{1}{2}$ en $r=-1$: bij de definitie van de wortel van een negatief getal hebben we de wortel van $-1$ ingevoerd als $\sqrt{-1}=\ii$, zodat $(-1)^{\frac{1}{2}}=\ii$. We hebben opgemerkt dat ook $-\ii$ als kwadraat $-1$ heeft. In het algemeen moeten we, om $r^{\frac{1}{2}}$ te definiëren, een keuze maken voor het teken. Die keuze wordt door de complexe logaritme gemaakt.