We hebben dus \(\ln(r\cdot\e^{\varphi\cdot\ii})=\ln(r)+ \varphi \cdot\ii\pmod{2k\cdot\pi\cdot\ii}\).

De complexe getallen #\ln(r)+ \left(\varphi +2k\cdot\pi\right)\cdot\ii# hebben allemaal hetzelfde beeld onder #\exp#: \[\exp\left(\ln(r)+ \left(\varphi +2k\cdot\pi\right)\cdot\ii\right)=\exp\left(\ln(r)+ \varphi \cdot\ii\right)=r\cdot\e^{\varphi\cdot\ii}\tiny.\]

Vaak spreekt men over de logaritme #\ln(z)# van #z# als een complex getal #w# met de eigenschap dat #\e^w=z#. Net als het argument is dit geen functie. Men spreekt dan wel van een meerwaardige functie, omdat ze in een punt meerdere waarden kan aannemen, maar die term zullen we vermijden.

We kiezen er hier voor om een specifieke waarde vast te leggen door gebruik te maken van de hoofdwaarde #\arg(z)# van het argument van #z#. Die waarde wordt, net als bij het argument (het argument van een complex getal wel te verstaan, niet te verwarren met het argument van een functie), wel de hoofdwaarde van de logaritme genoemd.

Soms kom je in de wiskundige literatuur #\rm Log# tegen voor de functie die wij met #\log# aangeven, en wordt #\log(z)# gebruikt om een of alle complexe oplossingen #w# van de vergelijking #\e^w=z# aan te geven.

De keuze voor #\log# als functie is vergelijkbaar met die van hogeremachtswortels van reële getallen: er zijn twee getallen #x# met #x^2=3#, die we beide een wortel van #3# kunnen noemen. (In het algemeen kunnen er bij hogere machten meer dan #2# wortels zijn.) Maar met #\sqrt{3}# geven we de positieve oplossing van de vergelijking aan. Dit volgt uit de keuze van het domein #x\ge0# voor de functie #x^2#. Ter vergelijking: hier hebben we voor #\exp# het domein bepaald als de verzameling van alle complexe getallen #z# met #-\pi\lt\Im(z)\le\pi#.

Bewijs: Stel #z# en #w# zijn complexe getallen met #\exp(z)=\exp(w)#. Dan geldt #\e^z=\e^w#, en, vanwege de rekenregels voor complexe machten, #\e^{z-w}=1#. De definitie complexe machten van het getal van Euler leert ons dat\[\eqs{ \e^{\Re(z-w)}&=&\left|\e^{z-w}\right|=\left| 1\right|=1\cr \Im(z-w)&=&\arg\left(\e^{z-w}\right)=0\pmod{2\pi}\cr}\]zodat #z-w=\Re(z-w)+\Im(z-w)\cdot\ii=0\pmod{2\pi\cdot\ii}#, ofwel #z=w\pmod{2\pi\cdot\ii}#. Als #z# en #w# beide in het domein #\left\{z\in\mathbb{C}\mid -\pi\lt \Im(z)\le\pi\right\}# liggen, dan verschillen hun imaginaire delen minder dan #2\pi# van elkaar, zodat ze gelijk moeten zijn. Dit bewijst #z=w#, en daarmee de injectiviteit van #\exp# als functie op het gegeven domein.

Het is bekend dat elk complex getal ongelijk aan #0# een polaire vorm heeft en dus geschreven kan worden als #\e^z# voor geschikte #z# met #\Im(z)# in #\ivoc{-\pi}{\pi}#. Dit betekent dat het beeld van #\exp# op het gegeven domein #\mathbb{C}\setminus\{0\}# is.

Het feit dat #\ln# de inverse van #\exp# op het gegeven domein is, volgt tenslotte uit:\[\begin{array}{rcl}\ln\left(\e^z\right)&=&\ln\left(\left|\e^{z}\right|\right) + \arg\left(\e^z\right)\cdot\ii\\ &&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{definitie complexe logaritme}}\\ &=&\ln\left(\e^{\Re(z)}\right) + \Im(z)\cdot\ii\\ &&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{definitie complexe functie }\exp}\\&=&\Re(z) + \Im(z)\cdot\ii\\ &=&z\\ \end{array}\]

De eerste gelijkheid volgt uit\[\begin{array}{rcl}\ln\left(z\cdot w\right)&=& \ln\left(\left|z\cdot w\right|\right)+\arg\left(z\cdot w\right)\cdot\ii\\&=& \ln\left(\left|z\right|\right)+\ln\left(\left| w\right|\right)+\arg\left(z\right)\cdot\ii+\arg\left(w\right)\cdot\ii\pmod{2\pi\cdot\ii}\\&=&\ln(z)+\ln(w)\pmod{2\pi\cdot\ii}\end{array}\]De tweede door herhaalde toepassing van de eerste met #z^k=z^{k-1}\cdot z# voor #k=n,n-1,\ldots,2#.

De derde volgt uit het feit dat de logaritme de inverse is van #\exp#.

Voor #z# met #-\pi\lt \Im(z)\le\pi # volgt de vierde gelijkheid ook uit het feit dat de logaritme de inverse is van #\exp#. Voor andere waarden van #z# kun je die conclusie niet trekken, omdat #z# dan niet in het speciaal gekozen domein van #\exp# ligt waarop de functie injectief is. Maar directe berekening laat zien dat de complexe logaritme modulo #2\pi\cdot\ii# zich als de inverse gedraagt:

\[\begin{array}{rcl}\ln\left(\e^{z}\right)&=& \ln\left(\left|\e^{z}\right|\right)+\arg\left(\e^{z}\right)\cdot\ii\\&&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{definitie complexe logaritme}}\\&=& \ln\left(\e^{\Re(z)}\right)+\left(\Im\left(z\right)\pmod{2\pi}\right)\cdot\ii\\&&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{definitie complexe functie }\exp}\\&=&\left(\Re(z)+\Im(z)\cdot\ii\right) \pmod{2\pi\cdot\ii}\\&&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{definitie reële logaritme}}\\&=&z\pmod{2\pi\cdot\ii}\end{array}\]