Complexe getallen: Complexe veeltermen
Het begrip complexe veelterm
Het oplossen van vergelijkingen is een belangrijke bezigheid in de wiskunde. Met complexe getallen kunnen we meer vergelijkingen aan dan met enkel reële getallen. Een veel voorkomend type is de veeltermvergelijking. In deze paragraaf bespreken we het begrip complexe veelterm en veeltermvergelijkingen. Het zijn uitbreidingen van de begrippen die bij de theorie Het begrip veelterm al voor reële getallen behandeld zijn.
Een uitdrukking van de gedaante
\[a_nz^n+a_{n-1} z^{n-1}+ \cdots + a_1z+a_0\]waarin #a_0,\ldots,a_n# complexe getallen zijn en #z# een variabele, heet een complexe veelterm in #z#. Als #a_n\neq 0#, dan heet #n# de graad van de veelterm. Een veelterm van de graad #1# wordt ook wel lineair genoemd en een veelterm van de graad #2# kwadratisch. De getallen #a_0,\ldots,a_n# heten de coëfficiënten van de veelterm. Als ze alle reëel zijn, dan noemen we de veelterm reëel. Het getal #a_0# heet de constante term, het getal #a_n# de leidende coëfficiënt.
Laat #p(z)# een veelterm zijn. De vergelijking #p(z)=0#, en elke vergelijking die deze vorm heeft na herleiding door alle termen naar links te brengen, heet een veeltermvergelijking. Als #p(w) = 0#, dan heet #w# een nulpunt van de veelterm, of ook wel een wortel of oplossing van de veeltermvergelijking #p(z) = 0#.
De afbeelding die aan een complex getal #z# de waarde #p(z)# toevoegt, heet een veeltermfunctie.
De veelterm #z^3-\ii# heeft graad #3#. De veelterm #z^2+z+1# is reëel en kwadratisch.
De definitie kent geen graad toe aan de veelterm #0#. Soms spreekt men af dat de graad van #0# gelijk is aan #-\infty#. Voor de rekenregels is het van belang dat de graad van #0# kleiner is dan #0#, de graad van een constante veelterm die ongelijk is aan #0#.
De veelterm #\ii# heeft graad #0#. De bijbehorende veeltermfunctie is de constante functie #C_{\ii}#, die aan #z# het getal #\ii# toevoegt. We gebruiken hier weer de notatie #C_a#, hoewel dit bij de introductie van de constante functie een reële functie was. Het domein van #C_a# is hier uitgebreid naar #\mathbb{C}#. De functie #C_a# met domein #\mathbb C# is dan en slechts dan reëelwaardig als #a# reëel is.
De volgende regels geven aan hoe we veeltermen kunnen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen.
Rekenkundige bewerkingen voor complexe veeltermen
Laat #f(z)=a_mz^m+a_{m-1}z^{m-1}+\cdots+ a_0# en #g(z)=b_nz^n+b_{n-1}z^{n-1}+\cdots +b_0# twee veeltermen zijn van graad #m# respectievelijk #n#. We nemen aan dat #m\ge n#. Laat verder #c# een reëel getal zijn.
De volgende uitdrukkingen zijn ook veeltermen:
- #c\cdot f(z) = (c\cdot a_m)z^m+(c\cdot a_{m-1})z^{m-1}+\cdots+ (c\cdot a_0)#
- # f(z)+g(z) = (a_m+b_m)z^{m}+(a_{m-1}+b_{m-1})z^{m-1}+\cdots+ (a_0+b_0)#, waarin #b_j=0# voor #j\gt n#
- # f(z)\cdot g(z) = (a_m\cdot b_n)z^{m+n}+(a_{m-1}b_{n}+a_m\cdot b_{m-1})z^{m-1}+\cdots+ (a_0\cdot b_0)#, waarin de coëfficiënt van #z^k# voor algemene #k# gelijk is aan #\displaystyle \sum_{j=0}^{k}a_j\cdot b_{k-j}#.
Het quotiënt #\dfrac{f(z)}{g(z)}# van twee veeltermen is niet altijd een veelterm, maar geeft wel een rationale functie. Hierop gaan we later in. We kunnen #g(z)# wel delen op #f(z)# met rest. Ook hier gaan we later op in.
Als gevolg van deze wetten, die overeenkomen met wat we weten van reële veeltermen, gelden allerlei regels die we kennen voor reële veeltermen, ook voor complexe getallen. Voorbeelden zijn de bananenformule, merkwaardige producten en het binomium van Newton.
- De graad van #c\cdot f(z)# is de graad van #f(z)# als #c\ne0#.
- De graad van #f(z)\cdot g(z)# is de som van de graden van #f(z)# en #g(z)#.
- Als #m\gt n#, dan is de graad van #f(z)+g(z)# gelijk aan de graad van #f(z)#.
- Als #m=n#, dan is de graad van #f(z)+g(z)# kleiner dan of gelijk aan de graad van #f(z)#.
Om de uitspraken te bewijzen schrijven we #f(z)=a_mz^m+a_{m-1}z^{m-1}+\cdots+ a_0# en #g(z)=b_nz^n+b_{n-1}z^{n-1}+\cdots +b_0# als boven. We nemen aan dat #a_m# en #a_n# niet #0# zijn, en dat #m\ge n#.
1. De leidende coëfficiënt van #c\cdot f(z)# is #c\cdot a_m#; deze komt voor als coëfficiënt van #z^m#. Vandaar dat de graad van #c\cdot f(z)# gelijk is aan #m#.
2. De leidende coëfficiënt van #f(z)\cdot g(z)# is #a_m\cdot b_n#; deze komt voor als coëfficiënt van #z^{m+n}#. Vandaar dat de graad van #f(z)\cdot g(z)# gelijk is aan #m+n#.
3. De leidende coëfficiënt van #f(z)+g(z)# is #a_m#; deze komt voor als coëfficiënt van #z^{m}#. Vandaar dat de graad van #f(z)+g(z)# gelijk is aan #m#.
4. De leidende coëfficiënt van #f(z)+g(z)# is #a_m+b_m#, tenzij dit getal gelijk is aan nul; deze komt voor als coëfficiënt van #z^{m}#. Vandaar dat de graad van #f(z)+g(z)# kleiner dan of gelijk is aan #m#.
Deze waarde wordt verkregen door #1-\ii# voor #z# in te vullen in #z^3-2\cdot \ii\cdot z+3#. Dit geeft
\[\begin{array}{rcl}\left(1-\ii\right)^3-2\cdot \ii\cdot \left(1-\ii\right)+3&=&-2\cdot \ii-2-2\cdot \ii-2+3\\&=&-1-4\cdot \ii
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
