• "De reële getallen maken deel uit van $\mathbb{C}$" betekent dat $\mathbb{R}$ met een deelverzameling van $\mathbb{C}$ te identificeren is en dat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van elementen uit die deelverzameling overeenkomt met dezelfde operatie voor de reële getallen.
• "De vergelijking $x^2=-1$ heeft een oplossing in $\mathbb{C}$" betekent niet dat die oplossing uniek is. We benadrukken dit, omdat voor elke oplossing $x$, ook $-x$ een oplossing is.

Waarom schrijven we eigenlijk liever ${\ii}$ voor de imaginaire eenheid in plaats van $\sqrt{-1}$? We geven twee redenen:

• Een reden daarvoor is dat de belangrijke rekenregel $$\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{x\cdot y}$$ voor de wortels van positieve getallen niet geldt voor de wortels van negatieve getallen. Stel immers dat deze regel wel zou gelden, en neem $x=-1$ en $y=-1$; dan zouden we de volgende tegenspraak krijgen: $$-1 = {\ii}^2=\ii \cdot \ii = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt{1} = 1$$ Met de wortelnotatie is de kans op dit soort fouten groter dan bij een strak geregelde formulemanipulatie met de imaginaire eenheid ${\ii}$.
• Een tweede reden is dat $\sqrt{y}$ bij positieve reële getallen $y$, het unieke positieve reële getal $x$ aangeeft met $x^2=y$, terwijl we niet kunnen zeggen wat we met positief bedoelen als het om complexe getallen gaat. Als we vastgesteld hebben dat $x=\ii$ een oplossing is van de vergelijking $x^2=-1$, dan is $x=-\ii$ dat ook. Daarom leggen we graag een getal $\ii$ vast met de eigenschap dat $\ii^2=-1$, om vervolgens $\sqrt{-1}$ te definiëren in termen van $\ii$: zie hieronder.

Ingenieurs gebruiken voor de imaginaire eenheid vaak het symbool $\mathrm{j}$ omdat de letter $\ii$ in de elektriciteitsleer al vergeven is als symbool voor stroomsterkte. In deze cursus houden we het bij de gebruikelijke wiskundige notatie.

Het rechter lid, $\sqrt{x}\cdot\ii$, is een speciaal getal van de vorm $a\cdot\ii$. Vereist is dat het een getal in $\mathbb{C}$ is omdat we producten van complexe getallen willen toelaten, en het reële getal $a$, of $\sqrt{x}$, tot $\mathbb{C}$ behoort.

Omdat we aannemen dat $\sqrt{x}\cdot \sqrt{y} = \sqrt {x\cdot y }$ geldt als ten hoogste één van $x$, $y$ negatief is, vinden we:

Het kwadraat van het imaginaire getal $y\cdot \ii$ is $\left(y\cdot \ii\right)^2=-y^2$, een niet-positief reëel getal.

Voor elk negatief reëel getal $a$ zijn er dus twee imaginaire getallen die in het kwadraat $a$ opleveren: $\sqrt{-a}\cdot\ii$ en $-\sqrt{-a}\cdot\ii$. Later zullen we zien dat dit ook de enige twee complexe oplossingen van de vergelijking $z^2=a$ met onbekende $z$ zijn.