Complexe getallen: Complexe veeltermen
Factorisatie van complexe veeltermen
Gehele getallen kun je ontbinden in priemgetallen. Reële veeltermen kun je ontbinden in irreducibele factoren. Voor complexe veeltermen geldt hetzelfde. Op deze pagina behandelen we de begrippen en stellingen die bekend zijn van het reële geval voor complexe veeltermen.
Irreducibele veeltermen
Een complexe veelterm in van graad heet ontbindbaar in de factoren en als en de graad van zowel als kleiner is dan . Een factor als heet een deler van . In dit geval heet reducibel.
Als niet ontbindbaar is, dan heet irreducibel.
Bijvoorbeeld: . De eerste en de tweede ontbinding lijken erg op elkaar: ze verschillen enkel in een constante factor.
Constante factoren zijn ongelijk , want anders zou de hele veelterm gelijk aan zijn. Daarom kunnen we ze altijd wegdelen. De meest gebruikelijke standaard is om alle factoren de leidende coëfficiënt te geven, zoals in de eerste ontbinding.
Lineaire factoren (die van graad ) zijn niet verder te ontbinden. We zullen later zien dat dit, in het geval van complexe veeltermen, de enige zijn met die eigenschap.
De reële veelterm is geen product van lineaire factoren.
De complexe veelterm is het product van de twee lineaire factoren en .
Voor wat betreft de reële veelterm: stel nu eens dat deze wèl een product is van lineaire factoren: , waarbij en veeltermen van graad kleiner dan zijn. Dan moeten beide graad hebben. We kunnen de leidende coëfficiënten van en beide gelijk aan kiezen. Dan zijn er twee getallen en , zodanig dat en . De ontbinding kan dus geschreven worden als . Omdat , volgt hieruit en . De eerste vergelijking geeft en invullen van deze waarde voor in geeft , een tegenspraak met het feit dat kwadraten nooit negatief zijn. Er is dus geen ontbinding van .
Voor wat betreft de complexe veelterm: de factoren en zijn inderdaad lineair en voldoen aan
Deling met rest voor complexe veeltermen
Laat een complexe veelterm zijn van graad , en een complexe veelterm van graad . We kunnen als volgt testen of een deler is van . Geef met de leidende coëfficiënt van aan.
Er bestaan unieke veeltermen en zo dat en de graad van kleiner is dan .
De veeltermen en zijn als volgt te vinden:
- begin met en ;
- verander en als volgt herhaaldelijk zolang de graad van ten minste is, waarbij de leidende coëfficiënt van is:
- tel bij op,
- trek het veelvoud van af.
De veelterm is een deler van dan en slechts dan als .
De procedure om quotiënt en rest te vinden is zo gekozen dat, aan het eind van elke stap waarin en veranderen, geldt. Bij elke stap gaat de graad van omlaag. Omdat de graad van in het begin de graad van is en per stap ten minste lager wordt, zal de procedure dus nooit meer dan stappen tellen.
Stel dat en twee veeltermen zijn met , zodat de graad van kleiner dan die van is. Dan hebben we dus , waaruit volgt dat . Maar in het rechter lid staat een veelterm van graad kleiner dan de graad van . Dus ook de veelterm in het linker lid heeft graad kleiner dan . Omdat het een veelvoud van is, kan dit alleen als het veelvoud is, dus als . Dit betekent dat . Maar dan volgt , dus . Het quotiënt en de rest zijn dus inderdaad uniek.
Als , dan is een ontbinding van , dus is een deler van .
Andersom, als een deler van is, dan is er een veelterm met . Omdat de graad van kleiner is dan de graad van , geeft de uniciteit dat en .
Voer daartoe paren in die voldoen aan en waarvan de graad van steeds kleiner wordt.
Immers, het recept van de theorie volgend, beginnen we met en De graad van is groter dan , de graad van . Daarom trekken we af van en tellen we op bij . Dit geeft Omdat de graad van nog niet kleiner dan is, herhalen we dit proces: we trekken af van en tellen op bij . Dit geeft Nu is de graad van wel kleiner dan . De conclusie is dat we de gevraagde en gevonden hebben.
Omdat , is geen deler van .
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.