Orthogonale matrices

Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Orthogonale afbeeldingen

Orthogonale matrices

We concentreren ons nu op orthogonale afbeeldingen in de inproductruimte $\mathbb{R}^n$ (met standaardinproduct) en hun matrices. Omdat de standaardbasis een orthonormale basis is van $\mathbb{R}^n$ , volgt uit stelling Orthogonale afbeeldingen en orthonormale stelsels dat een lineaire afbeelding $L:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ dan en slechts dan orthogonaal is als $L(\vec{e}_1),\ldots ,L(\vec{e}_n)$ een orthonormaal stelsel is. Dit verklaart de volgende definitie van orthogonaliteit voor een matrix.

Een reële $(n\times n)$ -matrix $A$ heet orthogonaal als de kolommen een orthonormaal stelsel in $\mathbb{R}^n$ vormen.

Enkele voorbeelden van orthogonale matrices zijn $\matrix{\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}}\quad\quad \matrix{\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}}$

Dit is rechtstreeks na te gaan door middel van de definitie. Onderstaande stelling geeft enkele andere methoden aan.

Permutatiematrices zijn orthogonaal. Na eventuele herordening vormen de kolommen immers de standaardbasis van $\mathbb{R}^n$ .

Als een $(n\times n)$ -matrix $A$ onafhankelijke kolommen bevat, is de matrix $Q$ van de QR-decompositie $A=Q\,R$ orthogonaal.

We formuleren het verband tussen orthogonaliteit van de matrix $A$ en de afbeelding $L_A$ bepaald door $A$ en enkele andere kenmerken van orthogonaliteit.

Laat $L: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ een lineaire afbeelding zijn met matrix $A$ . Dan zijn equivalent:

De lineaire afbeelding $L$ is orthogonaal.
De matrix $A$ is orthogonaal.
$A^{\top}\, A=I_n$ .
De matrix $A$ is inverteerbaar met inverse $A^{-1} = A^\top$ .
De matrix $A$ is inverteerbaar en $A^{-1}$ is orthogonaal.
De rijen van $A$ vormen een orthonormaal stelsel.

$1.\Leftrightarrow 2.$ Zoals besproken volgt uit stelling Orthogonale afbeeldingen en orthonormale stelsels dat $L_A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ dan en slechts dan orthogonaal is als $A\,\vec{e}_1,\ldots ,A\vec{e}_n$ een orthonormaal stelsel is, dus dan en slechts dan als $A$ orthogonaal is.

$2.\Leftrightarrow 3.$ Het $(i,j)$ -element van het matrixproduct $A^\top\, A$ is het inproduct van de $i$ -de en de $j$ -de kolom van $A$ . Controleren of de kolommen van $A$ een orthonormaal stelsel vormen, komt dus neer op de verificatie dat $A^{\top}\, A=I_n$ .

$3.\Leftrightarrow 4.$ Dit volgt onmiddellijk uit de stelling Inverse van een matrix.

$4.\Rightarrow 5.$ Stel dat $A$ inverteerbaar is met inverse $A^{-1} = A^\top$ . Dan volgt dankzij de regels voor de inverse van een matrix $\begin{array}{rcl} (A^{-1})^\top\, A^{-1}&=& (A^\top)^{-1}\, A^{-1} = (A\,A^\top)^{-1} = I_n^{-1} = I_n\end{array}$ Dit laat zien dat $A^{-1}$ inverteerbaar is met inverse $(A^{-1})^{\top}$ . De matrix $A^{-1}$ voldoet dus aan uitspraak 3 en is dus, vanwege de equivalentie van uitspraken 2 en 3, orthogonaal.

$5.\Rightarrow 4.$ Stel dat $A$ inverteerbaar is en $A^{-1}$ orthogonaal is. Volgens de regels voor de inverse van een matrix is $A$ dan inverteerbaar met inverse $((A^{-1})^\top)^{-1} =A^\top$ . Dit laat zien dat $A$ voldoet aan uitspraak 4.

$5.\Leftrightarrow 6.$ De voorgaande onderdelen van het bewijs laten zien dat uitspraak 5 equivalent is met de orthogonaliteit van $A$ en met de orthogonaliteit van $A^\top$ . Volgens de definitie van orthogonaliteit van een matrix is uitspraak 5 dus equivalent met de uitspraak dat de kolommen van $A^\top$ een orthonormaal stelsel vormen, en dus ook met de uitspraak dat de rijen van $A$ een orthonormaal stelsel vormen. Dit is de inhoud van uitspraak 6.

Volgens uitspraak 4 is $A^\top$ de inverse van $A$ . De inverse van een orthogonale matrix is dus eenvoudig te berekenen.

Ook is de inverse van $A$ orthogonaal als $A$ orthogonaal is. Omdat ${(A^\top)}^\top = A$ , geldt namelijk $I_n=A^\top\, A= A^\top {(A^\top)}^\top$ Dit laat zien dat de getransponeerde van $A^\top$ de inverse van $A^\top$ is, zodat $A^\top$ orthogonaal is. Maar $A^\top$ is (alweer vanwege uitspraak 3) de inverse van $A$ , dus $A^{-1}$ is orthogonaal.

Laat $A$ de volgende $(2\times 2)$ -matrix zijn:
$A= \dfrac{1}{13} \matrix{5 & 12 \\ -12 & 5 \\ }$ Is $A$ orthogonaal?

Ja

Iedere kolom van de matrix $A$ heeft lengte $1$ en elk tweetal verschillende kolommen heeft inproduct $0$ . De matrix $A$ is dus orthogonaal.

Ook de rijen van $A$ hebben lengte $1$ en onderling inproduct $0$ . Om de inverse van $A$ te bepalen hoeven we enkel de matrix te transponeren:
$A^{-1}=\dfrac{1}{13} \matrix{5 & -12 \\ 12 & 5 \\ }$

Nieuw voorbeeld