Het begrip symmetrische afbeelding

Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Symmetrische afbeeldingen

Het begrip symmetrische afbeelding

Naast orthogonale afbeeldingen vormen symmetrische afbeeldingen een tweede belangrijke klasse van lineaire afbeeldingen op een reële inproductruimte. Hier voeren we deze afbeeldingen in.

Laat $V$ een reële inproductruimte zijn. Een lineaire afbeelding $L:V\rightarrow V$ heet symmetrisch als $\dotprod{L(\vec{x})}{\vec{y}}=\dotprod{\vec{x}}{L(\vec{y})}$ geldt voor alle $\vec{x}, \vec{y}$ in $V$ .

Loodrechte projectieDe loodrechte projectie $P_\ell:V\to V$ op een rechte $\ell$ door de oorsprong van een inproductruimte $V$ is symmetrisch. Om in te zien waarom, kiezen we een vector $\vec{a}$ in $V$ met ${\left\lVert \vec{a} \right\rVert} =1$ zó dat $\ell=\linspan{\vec{a}}$ . Dan wordt de loodrechte projectie op $\ell$ bepaald door ${P_\ell}(\vec{x})=(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}})\,\vec{a}$ Voor alle $\vec{x}$ en $\vec{y}$ in $V$ geldt nu

$\begin{array}{rcl} \dotprod{( P_\ell(\vec{x}))}{\vec{y}}&=&\dotprod{\left((\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}})\,\vec{a}\right)}{ \vec{y}}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{afbeeldingsvoorschrift }P_\ell}\\ &=&(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}})\cdot (\dotprod{\vec{a} }{\vec{y}})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bilineariteit inproduct}}\\ &=&(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}})\cdot (\dotprod{\vec{y} }{\vec{a}})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{symmetrie inproduct}}\\ &=&\dotprod{\vec{x}}{\left((\dotprod{\vec{y}}{\vec{a})}\,\vec{a}\right)}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bilineariteit inproduct}}\\ &=& \dotprod{\vec{x}}{({P_\ell}(\vec{y}))}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{afbeeldingsvoorschrift }P_\ell}\end{array}$ zodat $\dotprod{( P_\ell(\vec{x}))}{\vec{y}}=\dotprod{\vec{x}}{( P_\ell(\vec{y}))}$ . Dit laat zien dat $P_\ell$ voldoet aan de definitie van een symmetrische afbeelding.

Bovenstaande lijn $\ell$ is niets anders dan een $1$ -dimensionale lineaire deelruimte. Op een overeenkomstige manier is te bewijzen dat de loodrechte projectie op een willekeurige lineaire deelruimte $W$ van $V$ een symmetrische lineaire afbeelding is.

Laat $L$ de lineaire afbeelding ${\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2}$ zijn bepaald door de matrix $A=\matrix{a&b\\ c&d}$ Dan is $L$ dan en slechts dan symmetrisch als de matrix $A$ symmetrisch is; dat wil zeggen: dan en slechts dan als $b=c$ . Later bewijzen we een algemenere uitspraak voor alle eindige dimensies, maar hier laten we zien dat als $L$ symmetrisch is, $b=c$ moet gelden:

$\begin{array}{rcl} b &=& \dotprod{\rv{1,0}}{\rv{b,d}} \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{berekening van een inproduct}}\\&=& \dotprod{\rv{1,0}}{L(\rv{0,1})}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{beeld is tweede kolomvector van }A}\\&=& \dotprod{L(\rv{1,0})}{\rv{0,1}}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{symmetrie van }L}\\&=& \dotprod{\rv{a,c}}{\rv{0,1}}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{beeld is eerste kolomvector van }A}\\&=&c\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{berekening van een inproduct}}\end{array}$

Let $V$ een inproductruimte zijn met basis $\basis{\vec{e}_1,\vec{e}_2}$ (dus $V$ is $2$ -dimensionaal) en laat $L:V\to V$ een lineaire afbeelding zijn. Dan is $L$ symmetrisch dan en slechts dan als $\dotprod{(L\vec{e}_1)}{\vec{e}_2} =\dotprod{\vec{e}_1}{(L\vec{e}_2)}$

Dit feit laat zien hoe de verificatie van symmetrie voor een afbeelding teruggebracht kan worden tot een berekening voor een enkel paar vectoren. Zoals we later zullen zien, zijn er meer (maar nog steeds een betrekkelijk klein aantal) berekeningen nodig voor hogere dimensies.

De waarheid van de uitspraak is een gevolg van de onderstaande keten van equivalente uitspraken.

$\begin{array}{rcl}L \text{ is symmetrisch}& \Leftrightarrow &\text{ Voor alle vectoren }\vec{x},\vec{y}\text{ geldt }\dotprod{(L\vec{x})}{\vec{y}} =\dotprod{\vec{x}}{(L\vec{y})}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie van symmetrie}}\\&\Leftrightarrow&\text{Voor alle scalairen }a,b,c,d\text{ geldt }\\&&\phantom{xxxxx}\dotprod{(L(a\vec{e}_1+b\vec{e}_2))}{(c\vec{e}_1+d\vec{e}_2)} =\dotprod{(a\vec{e}_1+b\vec{e}_2)}{(L(c\vec{e}_1+d\vec{e}_2))}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\vec{x} =a\vec{e}_1+b\vec{e}_2\text{ en }\vec{y}=c\vec{e}_1+d\vec{e}_2\text{ ingevuld}}\\ &\Leftrightarrow&\text{Voor alle scalairen }a,b,c,d\text{ geldt }\\&&\phantom{xxxxx}\dotprod{(aL\vec{e}_1+bL\vec{e}_2)}{(c\vec{e}_1+d\vec{e}_2)} =\dotprod{(a\vec{e}_1+b\vec{e}_2)}{(cL\vec{e}_1+dL\vec{e}_2)}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{ lineariteit van }L}\\&\Leftrightarrow&\text{Voor alle scalairen }a,b,c,d\text{ geldt }\\&&\phantom{xxxxx}ac\,(\dotprod{L\vec{e}_1}{\vec{e}_1})+ad\,(\dotprod{L\vec{e}_1}{\vec{e}_2})+bc\,(\dotprod{L\vec{e}_2}{\vec{e}_1})+bd\,(\dotprod{L\vec{e}_2}{\vec{e}_2})\\&&\phantom{xxxxx}=ac\,(\dotprod{\vec{e}_1}{L\vec{e}_1})+ad\,(\dotprod{\vec{e}_1}{L\vec{e}_2})+bc\,(\dotprod{\vec{e}_2}{L\vec{e}_1})+bd\,(\dotprod{\vec{e}_2}{L\vec{e}_2})\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{lineariteit van het inproduct }}\\&\Leftrightarrow&\text{Voor alle scalairen }a,b,c,d\text{ geldt }\\&&\phantom{xxxxx}ad\,(\dotprod{L\vec{e}_1}{\vec{e}_2})+bc\,(\dotprod{L\vec{e}_2}{\vec{e}_1})=ad\,(\dotprod{\vec{e}_1}{L\vec{e}_2})+bc\,(\dotprod{\vec{e}_2}{L\vec{e}_1})\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{termen vallen weg want }\dotprod{L\vec{e}_j}{\vec{e}_j}=\dotprod{\vec{e}_j}{L\vec{e}_j}\text{ vanwege symmetrie inproduct}}\\&\Leftrightarrow&\text{Voor alle scalairen }a,b,c,d\text{ geldt }\\&&\phantom{xxxxx}ad\,(\dotprod{L\vec{e}_1}{\vec{e}_2})+bc\,(\dotprod{L\vec{e}_2}{\vec{e}_1})=ad\,(\dotprod{L\vec{e}_2}{\vec{e}_1})+bc\,(\dotprod{L\vec{e}_1}{\vec{e}_2})\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\dotprod{L\vec{e}_i}{\vec{e}_j}=\dotprod{\vec{e}_j}{L\vec{e}_i}\text{ vanwege symmetrie inproduct}}\\ &\Leftrightarrow&\dotprod{L\vec{e}_1}{\vec{e}_2}=\dotprod{L\vec{e}_2}{\vec{e}_1}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{speciale geval }a=d=1\text{ en }b=c=0\text{ volstaat}} \end{array}$

Laat $V$ een eindigdimensionale reële inproductruimte zijn en $L:V\rightarrow V$ een lineaire afbeelding. Dan is er een unieke lineaire afbeelding $L^\top:V\rightarrow V$ , de geadjungeerde van $L$ , die bepaald is door $\dotprod{L(\vec{x})}{\vec{y}}=\dotprod{\vec{x}}{L^\top(\vec{y})}$ voor alle $\vec{x}, \vec{y}$ in $V$ .

Hier is een bewijs van deze uitspraak: Laat $\vec{y}$ een vector van $V$ zijn. Dan is de afbeelding die aan $\vec{x}$ het inproduct $\dotprod{L(\vec{x})}{\vec{y}}$ toevoegt een lineaire afbeelding $V\to\mathbb{R}$ . Omdat $V$ eindigdimensionaal is, geeft de stelling De lineaire ruimte van lineaire afbeeldingen dat er een unieke vector $\vec{a}$ is zó dat $\dotprod{L(\vec{x})}{\vec{y}}=\dotprod{\vec{a}}{\vec{x}}$ voor alle $\vec{x}$ . Het feit dat $\vec{a}$ uniek bepaald is door $\vec{y}$ betekent dat er een unieke afbeelding $L^\top: V\to V$ is zodanig dat ${L^\top}(\vec{y})={\vec{a}}$ voor alle $\vec{x}$ . Omdat het inproduct symmetrisch is, geldt ook $\dotprod{L(\vec{x})}{\vec{y}}=\dotprod{\vec{x}}{L^\top(\vec{y})}$ voor alle $\vec{x}$ .

Rest nog te bewijzen dat $L^\top$ lineair is. Voor willekeurige scalairen $\lambda$ , $\mu$ en vectoren $\vec{y}$ , $\vec{z}$ geldt

$\begin{array}{rcl}\dotprod{\vec{x}}{L^\top(\lambda\vec{y}+\mu\vec{z})}&=& \dotprod{(L(\vec{x}))}{(\lambda\vec{y}+\mu\vec{z})}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie }L^\top}\\&=&\lambda \dotprod{(L(\vec{x}))}{\vec{y}}+\mu\dotprod{(L(\vec{x}))}{\vec{z}}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bilineariteit inproduct}}\\ &=&\lambda \dotprod{\vec{x}}{(L^\top(\vec{y}))}+\mu\dotprod{\vec{x}}{(L^\top(\vec{z}))}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie }L^\top}\\&=&\dotprod{\vec{x}}{(\lambda L^\top(\vec{y})+\mu L^\top(\vec{z}))}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bilineariteit inproduct}}\\\end{array}$

Hieruit volgt $L^\top(\lambda\vec{y}+\mu\vec{z})=\lambda L^\top(\vec{y})+\mu L^\top(\vec{z})$ (omdat, zoals bovenstaande gelijkheid laat zien, het verschil loodrecht staat op $V$ ). Daarmee is ook de lineariteit van $L^\top$ bewezen.

De lineaire afbeelding $L$ is precies dan symmetrisch als $L=L^\top$ . Want als $L=L^\top$ dan geeft de uniciteit van de geadjungeerde van $L$ dat $L$ symmetrisch is; en als $L$ symmetrisch is, dan voldoet $L$ aan de definitie van $L^\top$ .

Hier zijn enkele eigenschappen van symmetrische afbeeldingen.

Laat $V$ een inproductruimte zijn, laat $L$ en $M$ symmetrische lineaire afbeeldingen $V\to V$ zijn, en laat $\lambda$ een scalar zijn.

$L+M$ is symmetrisch.
$\lambda\, L$ is symmetrisch.
Als $L$ en $M$ commuteren (dat wil zeggen: $L\, M = M\, L$ ), dan is $L\, M$ symmetrisch.
Als $L$ inverteerbaar is, dan is ook $L^{-1}$ symmetrisch.

1. $L+M$ is symmetrisch: Als $\vec{x}$ en $\vec{y}$ vectoren in $V$ zijn, dan geldt $\begin{array}{rcl}\dotprod{((L+M)(\vec{x}))}{\vec{y}}&=&\dotprod{(L(\vec{x})+M(\vec{x}))}{\vec{y}}\\ &=&\dotprod{(L(\vec{x}))}{\vec{y}}+\dotprod{(M(\vec{x}))}{\vec{y}}\\&=&\dotprod{\vec{x}}{(L(\vec{y}))}+\dotprod{\vec{x}}{(M(\vec{y}))}\\&=&\dotprod{\vec{x}}{(L(\vec{y})+M(\vec{y}))}\\ &=&\dotprod{\vec{x}}{((L+M)\,(\vec{y}))}\end{array}$ 2. $\lambda\, L$ is symmetrisch: Als $\vec{x}$ en $\vec{y}$ vectoren in $V$ zijn, dan geldt $\begin{array}{rcl}\dotprod{((\lambda\, L)(\vec{x}))}{\vec{y}}&=&\dotprod{(\lambda\,(L(\vec{x})))}{\vec{y}}\\&=&\lambda\cdot\dotprod{(L(\vec{x}))}{\vec{y}}\\&=&\lambda\cdot\dotprod{\vec{x}}{(L(\vec{y}))}\\&=&\dotprod{\vec{x}}{(\lambda\,(L(\vec{y})))}\\&=&\dotprod{\vec{x}}{((\lambda\,L)\,(\vec{y}))}\end{array}$ 3. Als $L$ en $M$ commuteren dan is $L\, M$ symmetrisch: Als $\vec{x}$ en $\vec{y}$ vectoren in $V$ zijn, dan geldt $\begin{array}{rcl}\dotprod{(L\,M(\vec{x}))}{\vec{y}} &=& \dotprod{(M(\vec{x}))}{(L(\vec{y}))}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{L\text{ is symmetrisch}}\\ &=& \dotprod{\vec{x}}{(M\,L(\vec{y}))}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{M\text{ is symmetrisch}}\\ &=& \dotprod{\vec{x}}{(L\,M(\vec{y}))}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{L\,M = M\, L}\end{array}$ 4. Als $L$ inverteerbaar is, dan is ook $L^{-1}$ symmetrisch: Als $\vec{x}$ en $\vec{y}$ vectoren in $V$ zijn, schrijf dan $\vec{v} = L^{-1}(\vec{x})$ en $\vec{w} = L^{-1}(\vec{y})$ . Dan geldt $\dotprod{(L^{-1}(\vec{x}))}{\vec{y}}=\dotprod{\vec{v}}{(L(\vec{w}))}=\dotprod{((L(\vec{v}))}{\vec{w}}=\dotprod{\vec{x}}{(L^{-1}(\vec{y}))}$ .

Laat $\vec{a}$ een vector ongelijk aan de nulvector zijn in een inproductruimte $V$ en schrijf $\ell=\linspan{\vec{a}}$ . Dan kan de spiegeling $S_{\vec{a}}$ rond het vlak $\linspan{\vec{a}}^\perp$ geschreven worden als

$S_{\vec{a}} = I_V -2 P_{\ell}$

De identieke afbeelding $I_V$ is duidelijk symmetrisch vanwege de definitie en onder het tabje Loodrechte projectie hierboven hebben we gezien dat $P_{\ell}$ symmetrisch is. Vanwege uitspraken 1 en 2 is de spiegeling $S_{\vec{a}}$ dus ook symmetrisch.

De symmetrische lineaire afbeeldingen $V\to V$ vormen een lineaire deelruimte van de vectorruimte van alle lineaire afbeeldingen $V\to V$ . Immers, de nulafbeelding is symmetrisch, en de eerste twee uitspraken laten zien dat de verzameling symmetrische lineaire afbeeldingen gesloten is onder vectoroptelling en scalarvermenigvuldiging.

De eis dat $L$ en $M$ commuteren is noodzakelijk in uitspraak 3. Neem $V=\mathbb{R}^2$ , en laat $L$ de afbeelding zijn bepaald door de matrix $\matrix{0&1\\1&1}$ en $M$ door $\matrix{0&2\\2&1}$ . Dan geldt $L\, M=\matrix{2&1\\2&3}$ , wat geen symmetrische afbeelding is omdat $\dotprod{(L\,M\rv{1,0})}{\rv{0,1}}=2\neq 1=\dotprod{\rv{1,0}}{(L\,M\rv{0,1})}$

Laat $P_1$ de inproductruimte zijn van alle veeltermen in $x$ van graad hoogstens $1$ met orthonormale basis $\basis{1, x}$ . Bekijk de lineaire afbeelding $L:P_1\to P_1$ gegeven door $\eqs{ L(1) &=& 2 -5 x\\ L(x) &=& a-x}$ Voor welke gehele waarde van $a$ is $L$ symmetrisch?

$a =$ ${-5}$

Een onderdeel van de symmetrievoorwaarde op $L$ is dat $\dotprod{(L({1}))}{{x}}= \dotprod{{1}}{(L({x}))}$ . We werken deze vergelijking uit:
$\begin{array}{rcl} \dotprod{(2 -5 x )}{{x}} &=& \dotprod{{1}}{(a-x)}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{voorschrift van }L\text{ ingevuld}}\\2 \cdot \dotprod{1}{{x}}-5 \cdot(\dotprod{x }{x}) &=& \dotprod{{1}}{a}-1\cdot(\dotprod{{1}}{ x})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bilineariteit van het inproduct }}\\ -5 &=&a\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\dotprod{1}{x}=0\text{ en }\dotprod{x}{x}=1\text{ vanwege orthonormaliteit van de basis}}\\ \end{array}$ We concluderen dat $a = -5$ de enige mogelijkheid is. Uitwerking van de vergelijking $\dotprod{(L(\alpha +\beta x))}{(\gamma+\delta x)} = \dotprod{(\alpha +\beta x)}{(L(\gamma+\delta x))}$ voor willekeurige scalairen $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ of toepassing van het 2D criterium bij de definitie van symmetrische afbeelding laat zien dat $a= -5$ inderdaad voldoet. Het antwoord is dus $a = -5$ .

Nieuw voorbeeld