Verband met symmetrische matrices

Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Symmetrische afbeeldingen

Verband met symmetrische matrices

De naam symmetrisch voor een lineaire afbeelding #L:V\to V# op een eindigdimensionale vectorruimte #V# heeft te maken met de matrixvoorstelling van #L#. De volgende stelling gebruiken we om het verband met matrices te leggen.

Karakterisaties van symmetrieVoor elke lineaire afbeelding #L:V\rightarrow V# op een eindigdimensionale inproductruimte #V# zijn equivalent:

#L:V\rightarrow V# is symmetrisch.
Voor elk orthonormaal stelsel #\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n# in #V# geldt #\dotprod{( L\vec{a}_i)}{\vec{a}_j}=\dotprod{\vec{a}_i }{(L \vec{a}_j)}# voor alle #i,j#.
Er is een orthonormale basis #\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_m# van #V# met de eigenschap dat #\dotprod{(L\vec{a}_i)}{ \vec{a}_j}=\dotprod{\vec{a}_i }{(L\vec{a}_j)}# voor alle #i,j#.
Er is een orthonormale basis #\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_m# van #V# met de eigenschap dat #\dotprod{(L\vec{a}_i)}{ \vec{a}_j}=\dotprod{\vec{a}_i }{(L\vec{a}_j)}# voor alle #i,j# met #i\lt j#.

De implicaties #1\Rightarrow 2#, #2 \Rightarrow 3# en #3 \Rightarrow 4# zijn triviaal.

#3\Rightarrow 1#: Schrijf #\vec{x}=\lambda_ 1\vec{a}_1 + \cdots + \lambda_m\vec{a}_m# en #\vec{y}=\mu_ 1\vec{a}_1 + \cdots + \mu_m\vec{a}_m#. Dan volgt
\[
\dotprod{(A \vec{x})}{\vec{y}}=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m\lambda_i \mu_j \dotprod{(A\vec{a}_i) }{\vec{a}_j}=
\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m\lambda_i \mu_j \dotprod{\vec{a}_i }{(A\vec{a}_j)}=
\dotprod{ \vec{x}}{(A \vec{y})}
\]

#4\Rightarrow 3#: Het bewijs hiervan volgt uit de volgende twee observaties:

Als #i=j# dan is #\dotprod{(L\vec{a}_i)}{ \vec{a}_j}=\dotprod{\vec{a}_i }{(L\vec{a}_j)}# een direct gevolg van de symmetrie van het inproduct.
Als #i\gt j# dan volgt #\dotprod{(L\vec{a}_i)}{ \vec{a}_j}=\dotprod{\vec{a}_i }{(L\vec{a}_j)}# uit #\dotprod{(L\vec{a}_j)}{ \vec{a}_i}=\dotprod{\vec{a}_j }{(L\vec{a}_i)}#.

1D VoorbeeldElke lineaire afbeelding #\mathbb{R}\to \mathbb{R}# is een scalaire vermenigvuldiging. Deze is altijd symmetrisch. Als de scalar waarmee vermenigvuldigd wordt gelijk is aan #\lambda#, dan is de bijbehorende matrix #\matrix{\lambda}#; elke #(1\times1)#-matrix is inderdaad altijd symmetrisch.

2D Voorbeeld Stel dat #\dim{V} = 2 # en dat #\basis{\vec{a}_1,\vec{a}_2}# een orthonormale basis is van #V#. Dan is, vanwege voorwaarde 4, de lineaire afbeelding #L:V\to V# dan en slechts dan symmetrisch als #\dotprod{(L\vec{a}_1)}{ \vec{a}_2}=\dotprod{\vec{a}_1 }{(L\vec{a}_2)} #.

In woorden In woorden zegt deze stelling dit: als een lineaire afbeelding symmetrisch is op een orthonormale basis, is deze afbeelding symmetrisch op de hele vectorruimte. Dit is niet gek, gezien het feit dat iedere vector een lineaire combinatie is van deze basis.

Hier is het verband tussen symmetrische afbeeldingen en symmetrische matrices.

Symmetrische afbeeldingen en matrices
Laat #V# een eindigdimensionale reële inproductruimte zijn en #\alpha# een orthonormale basis van #V#. De lineaire afbeelding #L:V\rightarrow V# is dan en slechts dan symmetrisch als de matrix #L_\alpha# van #L# ten opzichte van #\alpha# symmetrisch is.

Laat #\alpha =\basis{ \vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n}# een willekeurige orthonormale basis voor #V# zijn. De matrix #L_\alpha# heeft als kolommen de #\alpha#-coördinaten van de vectoren #L(\vec{a}_1),L(\vec{a}_2),\ldots,L(\vec{a}_n)#. Het #(i,j)#-element van #L_\alpha# is dus de #i#-de coördinaat van #L(\vec{a}_j)#. Met het oog op eigenschap 2 van orthonormale stelsels vectoren wil dat zeggen: #\dotprod{\vec{a}_i}{(L(\vec{a}_j))}#. Net zo is het #(j,i)#-element gelijk aan de #j#-de coördinaat van #L(\vec{a}_i)#, dus #\dotprod{(L(\vec{a}_i))}{\vec{a}_j}#. Als #L# symmetrisch is, dan zijn deze elementen gelijk. De matrix #L_\alpha# voldoet dus aan #L^\top_\alpha=L_\alpha#. Dat wil zeggen: #L_\alpha# is symmetrisch.

Omgekeerd, als #L_\alpha# symmetrisch is, dan is het #(i,j)#-element gelijk aan het #(j,i)#-element:
\[\dotprod{\vec{a}_i}{(L(\vec{a}_j))}=\dotprod{(L(\vec{a}_i))}{\vec{a}_j}=\dotprod{\vec{a}_j}{(L(\vec{a}_i))}\] Met gebruikmaking van bovenstaande stelling Karakterisaties van symmetrie concluderen we dat #L# symmetrisch is.

Loodrechte projectieZoals we in een voorbeeld van de definitie van een symmetrische afbeelding zagen, is de loodrechte projectie #P_W :V\rightarrow V# op een deelruimte #W# symmetrisch. Dit kunnen we ook met behulp van de stelling vaststellen. Kies een orthonormale basis #\vec{a}_1, \ldots,\vec{a}_n# van #V# zodanig dat #\vec{a}_1, \ldots ,\vec{a}_m# een orthonormale basis is van #W# (dit is mogelijk dankzij de Gram-Schmidt procedure). Elke vector uit de basis is een eigenvector: de eerste #m# vectoren bij eigenwaarde #1#, de laatste #n-m# bij eigenwaarde #0#. De matrix van de afbeelding #P_W# ten opzichte van deze orthonormale basis is dus een diagonaalmatrix en is dus symmetrisch. Met de stelling concluderen we dat #P_W# symmetrisch is.

DimensieSchrijf #n=\dim{V}#. Eerder hebben we gezien dat de afbeelding #\varphi: L(V,V)\to M_{n\times n}# die aan een lineaire afbeelding #L:V\to V# de matrix #L_\alpha# toewijst, een isomorfisme van vectorruimten is. Deze vectorruimte heeft dimensie #n^2#, het aantal elementen van een #(n\times n)#-matrix. Op grond van de eerste twee eigenschappen van symmetrische afbeeldingen en het feit dat de nulmatrix symmetrisch is, is de deelverzameling van #L(V,V)# van alle symmetrische lineaire afbeeldingen #V\to V# een lineaire deelruimte. Deze lineaire deelruimte is isomorf (via de beperking van het isomorfisme #\varphi#) met het beeld #\im{\varphi}#, dat is de deelruimte van #M_{n\times n}# bestaande uit alle symmetrische matrices (dit volgt uit bovenstaande stelling). Deze deelruimte heeft dimensie #\frac12 n\cdot(n+1)#. Dit is in te zien door na te gaan dat een basis gevormd wordt door de verzameling #E_{ij}+E_{ji}# voor alle #i,j# met #1\le i\le j\le n#, waarbij #E_{ij}# de #(n\times n)#-matrix is met als #(i,j)#-element #1# en alle andere elementen gelijk aan #0#.

2D Voorbeeld Bekijk de matrix #A = \matrix{a&b\\ c&d}#. De lineaire afbeelding #L_A:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2# bepaald door #A# is dan en slechts dan symmetrisch als #A# symmetrisch is, dat wil zeggen, dan en slechts dan als #b=c#.

Laat #P_1# de inproductruimte zijn van alle veeltermen in #x# van graad hoogstens #1# met orthonormale basis #\basis{1, x}#. Bekijk de lineaire afbeelding #L:P_1\to P_1# gegeven door \[\eqs{ L(1) &=& -5 -3 x\\ L(x) &=& a-3 x}\]Voor welke gehele waarde van #a# is #L# symmetrisch?

#a =# #{-3}#

Een onderdeel van de symmetrievoorwaarde op #L# is dat \(\dotprod{(L({1}))}{{x}}= \dotprod{{1}}{(L({x}))}\). We werken deze vergelijking uit:
\[\begin{array}{rcl} \dotprod{(-5 -3 x )}{{x}} &=& \dotprod{{1}}{(a-3 x)}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{voorschrift van }L\text{ ingevuld}}\\-5 \cdot \dotprod{1}{{x}}-3 \cdot(\dotprod{x }{x}) &=& \dotprod{{1}}{a}-3\cdot(\dotprod{{1}}{ x})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bilineariteit van het inproduct }}\\
-3 &=&a\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\dotprod{1}{x}=0\text{ en }\dotprod{x}{x}=1\text{ vanwege orthonormaliteit van de basis}}\\
\end{array}\]We concluderen dat #a = -3# de enige mogelijkheid is. Uitwerking van de vergelijking \[\dotprod{(L(\alpha +\beta x))}{(\gamma+\delta x)} = \dotprod{(\alpha +\beta x)}{(L(\gamma+\delta x))} \] voor willekeurige scalairen #\alpha #, #\beta#, #\gamma#, #\delta # of toepassing van het 2D criterium bij de definitie van symmetrische afbeelding laat zien dat #a= -3# inderdaad voldoet. Het antwoord is dus #a = -3#.

Nieuw voorbeeld