Eigenschappen van symmetrische afbeeldingen

Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Symmetrische afbeeldingen

Eigenschappen van symmetrische afbeeldingen

De volgende eigenschap is vergelijkbaar met een eigenschap die we bij orthogonale afbeeldingen hebben gezien. Ze is één van de twee pijlers waarop de diagonaliseerbaarheid van symmetrische matrices berust.

Laat $V$ een reële inproductruimte zijn en $L:V\rightarrow V$ een symmetrische lineaire afbeelding. Als $W$ een $L$ -invariante lineaire deelruimte van $V$ is, dan is ook $W^\perp$ invariant onder $L$ .

Neem een willekeurige vector $\vec{x}\in W^\perp$ . We bewijzen dat $L(\vec{x})\in W^\perp$ door te laten zien dat $\dotprod{L(\vec{x})}{\vec{y}}=0$ voor alle $\vec{y}\in W$ : $\begin{array}{rcl}\dotprod{L(\vec{x})}{\vec{y}}&=&\dotprod{\vec{x}}{L(\vec{y})}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{symmetrie van }L}\\&=&0\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\vec{x}\in W^\perp\text{ en }L(\vec{y})\in W\text{ vanwege invariantie van }W}\end{array}$

Stel dat $V$ een eindigdimensionale inproductruimte is en dat $L:V\rightarrow V$ een symmetrische lineaire afbeelding is met een reëel getal $\lambda$ als enige complexe eigenwaarde. Dan is $L$ gelijk aan de scalaire vermenigvuldiging $\lambda\, I_V$ .

Om dit in te zien gebruiken we enkele resultaten over eigenruimten. We schrijven $W$ voor de kern van $L-\lambda I_V$ . Deze lineaire deelruimte van $V$ is invariant onder $L$ . Neem aan dat $W$ een echte deelruimte van $V$ is, zodat $W^\perp$ niet triviaal is. Vanwege de stelling is $W^\perp$ invariant onder $L$ . In het bijzonder heeft $L$ een eigenvector bij eigenwaarde $\lambda$ . Dit betekent dat die eigenvector niet alleen tot $W^\perp$ behoort maar ook tot $W$ . Dit is in tegenspraak met $W\cap W^\perp = \{\vec{0}\}$ (een van de eigenschappen van het orthogonale complement). We concluderen dat $W=V$ , zodat $L-\lambda I_V$ de nulafbeelding is, waarmee $L =\lambda\,I_V$ bewezen is.

In de situatie van de stelling is de beperking van $L$ tot $W$ zowel als de beperking van $L$ tot $W^\perp$ weer symmetrisch. Omdat $L$ volledig bepaald is door deze twee beperkingen (bases van $W$ en $W^\perp$ vormen een basis van $V$ vanwege eigenschappen van het orthogonaal complement), kunnen we de studie van symmetrische lineaire afbeeldingen dus opbreken tot de studie van dergelijke afbeeldingen op gegeneraliseerde eigenruimten. Het commentaar Eigenruimten laat zien dat de gegeneraliseerde eigenruimten in feite eigenruimten zijn, zodat $L$ complex diagonaliseerbaar is. Hieronder zullen we zien dat $L$ zelfs reëel diagonaliseerbaar is.

De andere pijler waarop de diagonaliseerbaarheid van symmetrische afbeeldingen berust, is het feit dat alle complexe eigenwaarden van zo'n afbeelding reëel zijn.

Laat $V$ een eindigdimensionale reële inproductruimte zijn en laat $L:V\rightarrow V$ een symmetrische lineaire afbeelding zijn. Dan zijn alle wortels van de karakteristieke vergelijking van $L$ reëel.

Stel dat $\mu$ een niet-reële wortel is van de karakteristieke vergelijking. Wegens de opmerking over 2D invariante deelruimten voor reële lineaire afbeeldingen bestaat er nu een tweedimensionale invariante lineaire deelruimte $U$ zo dat $\left.L\right|_U$ , de beperking van $L$ tot $U$ een afbeelding $U\rightarrow U$ is met karakteristieke veelterm $(x-\mu)\cdot (x-\overline{\mu})$ . Kies een orthonormale basis $\alpha$ voor $U$ . Dan is $L_\alpha=\matrix{ a & b\\ b & c}$ een symmetrische matrix vanwege de stelling Symmetrische afbeeldingen en matrices. De karakteristieke veelterm ervan is gelijk aan
$\left|\,\begin{array}{cc} a-\lambda & b\\ b & c-\lambda \end{array}\,\right|\ =\ \lambda^2-(a+c)\lambda+ac-b^2$ De discriminant van deze kwadratische veelterm is gelijk aan $(a+c)^2-4ac+4b^2=(a-c)^2+4b^2\geq 0$ De twee wortels zijn dus reëel. Dat is een tegenspraak met het feit dat de karakteristieke veelterm gelijk is aan $(x-\mu)\cdot (x-\overline{\mu})$ . We concluderen dat alle wortels van de karakteristieke vergelijking van $L :V\rightarrow V$ reëel zijn.

Laat $V$ een eindigdimensionale inproductruimte zijn en $L:V\rightarrow V$ een symmetrische lineaire afbeelding. De tab over eigenruimten van de voorgaande stelling leerde ons dat als $L:V\rightarrow V$ een reëel getal $\lambda$ als enige complexe eigenwaarde heeft, ze gelijk is aan de scalaire vermenigvuldiging $\lambda\, I_V$ . De onderhavige stelling leert ons dat $L$ alleen reële eigenwaarden heeft. Door de zojuist genoemde toepassing te gebruiken voor elke gegeneraliseerde eigenruimte van een symmetrische lineaire afbeelding $L$ , vinden we dat $L$ diagonaliseerbaar is. We zullen later een bewijs hiervan geven waarbij de coördinatentransformatie die $L$ in diagonaalvorm brengt orthogonaal gekozen kan worden.

De vector $\left[ -1 , -1 \right]$ is een eigenvector van de symmetrische matrix $A=\matrix{-1 & 3 \\ 3 & -1 \\ }$ bij eigenwaarde $2$ . Het opspansel van de vector $\left[ -1 , -1 \right]$ is dus invariant onder $A$ .

De tweede eigenwaarde van $A$ verschilt van $2$ .

Bepaal een eigenvector van $A$ bij deze eigenwaarde.

$\rv{a,b}=$ ${\left[ -1 , 1 \right] }$

Het orthogonale complement van $\linspan{\left[ -1 , -1 \right] }$ in $\mathbb{R}^2$ is $1$ -dimensionaal. Een opspannende vector is dus een eigenvector. Zo'n opspannende vector $\rv{a,b}$ kan gevonden worden door de vergelijking
${\dotprod{\left[ -1 , -1 \right] }{\rv{a,b}} =0}$ op te lossen. Dit leidt tot de vergelijking $-a-b=0$ . Een oplossing hiervan is $\rv{a,b} = \left[ -1 , 1 \right]$ .

Nieuw voorbeeld