Het begrip unitaire afbeelding

Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Unitaire afbeeldingen

Het begrip unitaire afbeelding

Het complexe analogon van een orthogonale afbeelding is een unitaire afbeelding. Zoals eerder besproken, hebben de vectoren van een complexe inproductruimte een lengte. Unitaire afbeeldingen zijn lineaire afbeeldingen die deze lengte behouden. We zullen laten zien dat de resultaten over orthogonale afbeeldingen analoge stellingen kennen voor unitaire afbeeldingen.

Unitaire afbeelding

Laat $V$ en $W$ complexe inproductruimten zijn.

Een afbeelding $L :V\rightarrow W$ heet een isometrie als $\norm{L(\vec{x}-\vec{y})}=\norm{\vec{x}-\vec{y}}$ voor alle $\vec{x}$ , $\vec{y}$ in $V$ .

Bijgevolg is een lineaire afbeelding $L :V\rightarrow W$ dan en slechts dan een isometrie als $\norm{L(\vec{x})}=\norm{\vec{x}}$ voor alle $\vec{x}\in V$ .

Een lineaire isometrie $L:V\to V$ heet ook wel een unitaire afbeelding.

Als $V$ een reële inproductruimte is, dan is $V_{\mathbb{C}} = V\oplus \ii V$ , de uitbreiding van $V$ tot een complexe vectorruimte, een complexe inproductruimte met inproduct bepaald door $\norm{\vec{u}+\ii\vec{v}}=\norm{\vec{u}}+\norm{\vec{v}}$ voor vectoren $\vec{u},\vec{v}$ van $V$ .

Een orthogonale afbeelding $L:V\to V$ is op een unieke manier uit te breiden tot een lineaire afbeelding $L_{\mathbb{C}} :V_{\mathbb{C}}\to V_{\mathbb{C}}$ , namelijk door $L(\vec{u}+\ii\vec{v}) =L(\vec{u})+\ii L(\vec{v})$ Deze afbeelding is unitair. Het feit dat $L_{\mathbb{C}}$ de lengte op $V_{\mathbb{C}}$ behoudt is in te zien door de volgende lengteberekening voor vectoren $\vec{u},\vec{v}$ van $V$ : $\norm{L(\vec{u}+\ii\vec{v})}=\norm{L(\vec{u})+\ii L(\vec{v})}=\norm{L(\vec{u})}+\norm{L(\vec{v})} =\norm{\vec{u}}+\norm{\vec{v}}=\norm{\vec{u}+\ii\vec{v}}$

Net als in het reële geval is een lineaire afbeelding $L:V\to W$ tussen complexe vectorruimten een isometrie dan en slechts dan als deze het inproduct behoudt. Het bewijs hiervoor maakt gebruik van het complexe equivalent van de polarisatieformule, die we echter niet hebben behandeld in de theorie; ook het bewijs zullen we niet expliciet geven. Het loopt analoog aan het bewijs voor het reële geval.

Bekijk de inproductruimte $\mathbb{C}$ met het standaardinproduct $\dotprod{x}{y} = x\cdot\overline{y}$ . Elke lineaire afbeelding $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ is vermenigvuldiging met een complex getal $\lambda$ . Deze vermenigvuldiging is dan en slechts dan unitair als $|\lambda|=1$ .

Volgens de definitie is deze vermenigvuldiging immers unitair als ${\parallel \lambda\cdot x\parallel} = {\parallel x\parallel}$ voor alle complexe getallen $x$ . De norm is in dit geval gelijk aan de absolute waarde, zodat unitariteit equivalent is met $| \lambda\cdot x| = | x|$ voor alle complexe getallen $x$ . Vanwege $| \lambda\cdot x| = |\lambda|\cdot| x|$ is dit precies dan het geval als $|\lambda| = 1$ .

De beperking $\left.\mathbb{C}\right|_{\mathbb{R}}$ van $\mathbb{C}$ wordt verkregen door beperking van scalairen tot $\mathbb{R}$ . Het is een $2$ -dimensionale reële inproductruimte met orthonormale basis $\basis{1,\ii}$ . Het bijbehorende inproduct is het reële deel van het inproduct van $\mathbb{C}$ . Vermenigvuldiging met $\lambda$ heeft dan de volgende matrix ten opzichte van deze basis:

$\matrix{\Re{\lambda}& \Re{(\lambda\cdot\ii)}\\ \Im{\lambda}&\Im{(\lambda\cdot \ii)}} =\matrix{\Re{\lambda}& -\Im{\lambda}\\ \Im{\lambda}&\Re{\lambda}}$

Dit bevestigt dat vermenigvuldiging met $\lambda$ gezien als lineaire afbeelding op de reële inproductruimte $\left.\mathbb{C}\right|_{\mathbb{R}}$ dan en slechts dan orthogonaal is als vermenigvuldiging met $\lambda$ op de complexe vectorruimte $\mathbb{C}$ unitair is.

Laat $V$ een unitaire inproductruimte zijn. Een unitaire spiegeling $S_{\vec{a},\lambda}: V\to V$ is een unitaire afbeelding die eigenvector $\vec{a}$ heeft bij eigenwaarde $\lambda$ met $\norm{\lambda}= 1$ en elke vector die loodrecht op $\vec{a}$ staat, vast houdt.

Een afbeeldingsvoorschrift voor $S_{\vec{a},\lambda}$ wordt gegeven door

$S_{\vec{a},\lambda}(\vec{x}) = \vec{x}-(1-\lambda)\dfrac{\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}}}{\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}}}\vec{a}$

Als $V = \mathbb{C}$ , dan is elke unitaire afbeelding $V\to V$ een unitaire spiegeling, zoals blijkt uit het 1D voorbeeld.

In het algemeen bestaat er voor elk tweetal vectoren $\vec{u}$ , $\vec{v}$ in $V$ van dezelfde lengte een unitaire spiegeling $S_{\vec{a},\lambda}$ die $\vec{u}$ overvoert in $\vec{v}$ . Het bewijs hiervan is in een opgave verwerkt.

Translaties (afbeeldingen $T_{\vec{a}}$ voor een vector $\vec{a}$ met voorschrift $T_{\vec{a}}(\vec{x}) =\vec{x}+\vec{a}$ ) zijn evenals in het reële geval isometrieën. Elke isometrie $V\to W$ tussen complexe inproductruimten $V$ en $W$ is de samenstelling van een translatie en een lineaire isometrie. Deze uitspraak en het bewijs ervan zijn vrijwel gelijk aan die in het reële geval.

Het bewijs van de karakterisatie van een lineaire isometrie met behulp van de norm is gelijk aan dat in het reële geval.

De volgende eigenschappen van isometrieën van complexe inproductruimten komen overeen met het reële geval.

Laat $U$ , $V$ , $W$ complexe inproductruimten zijn.

Als $L:V\rightarrow W$ en $M :U\rightarrow V$ lineaire isometrieën zijn, dan is de samenstelling $L\,M:U\rightarrow W$ ook een lineaire isometrie.
Als $L:V\rightarrow W$ een lineaire isometrie is, dan is $L$ injectief.
Als $L:V\rightarrow V$ unitair is en $V$ eindigdimensionaal, dan is $L$ inverteerbaar
en is ook $L^{-1}$ unitair.
De afbeelding $L:V\to V$ is unitair dan en slechts dan als voor ieder orthonormaal stelsel $\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n$ in $V$ , het stelsel $L(\vec{a}_1),\ldots , L(\vec{a}_n)$ in $V$ ook orthonormaal is.
Als $\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n$ een orthonormale basis voor $V$ is, dan is de afbeelding $L:V\to V$ unitair dan en slechts dan als het stelsel $L(\vec{a}_1),\ldots , L(\vec{a}_n)$ ook een orthonormale basis voor $V$ is.

De bewijzen lopen analoog aan de bewijzen voor reële inproductruimten.

Ook de correspondentie met matrices loopt parallel aan het reële geval.

Een complexe $(n\times n)$ -matrix $A$ heet unitair als de kolommen van $A$ een orthonormaal stelsel in $\mathbb{C}^n$ vormen.

Als $A$ een complexe $(n\times n)$ -matrix is, dan geven we met $A^\star$ de matrix ${\overline A}^\top$ aan, waarbij ${\overline A}$ de $(n\times n)$ -matrix is waarvan elk element de complex geconjugeerde is van het corresponderende element van $A$ .

Laat $V$ een eindigdimensionale unitaire inproductruimte zijn. Als $\alpha$ een basis voor $V$ is bestaande uit een vector $\vec{a}$ en een basis voor $\vec{a}^{\perp}$ en als $\lambda$ een complexe scalar is van absolute waarde $1$ , dan is de matrix van de unitaire spiegeling $S_{\vec{a},\lambda}$ ten opzichte van $\alpha$ gelijk aan

$\left(S_{\vec{a},\lambda}\right)_\alpha = \matrix{\lambda&0&0&\cdots&0\\ 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\ddots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1}$ Deze matrix is unitair.

Zoals we hieronder zullen zien, is in het algemeen de matrix van een unitaire afbeelding ten opzichte van een orthonormale basis unitair. De basis $\alpha$ hierboven is niet noodzakelijk orthonormaal.

Als $A = \matrix{1&-\ii\\ \ii & 1}$ dan is $\overline{A}= \matrix{1&\ii\\ -\ii & 1}$ en $A^\star= \matrix{1&-\ii\\ \ii & 1}$ . Bijgevolg is $A^\star \, A =2\cdot \matrix{1&-\ii\\ \ii &1}$ . Het $(i,j)$ -element van de laatste matrix is gelijk aan $\dotprod{\vec{a}_j}{\vec{a}_i}$ , waarbij $\vec{a}_i$ de $i$ -de kolom van $A$ is. Omdat het $(1,2)$ -element ongelijk aan $0$ is, is $A$ niet unitair. Elke $(2\times2)$ -matrix van de vorm $\matrix{a&b\\ -\overline{b}&\overline{a}}$ is unitair als $|a|^2+|b|^2 =1$ .

In de natuurkunde wordt $A^\star$ vaak met $A^\dagger$ aangegeven.

Aan de hand van de matrix ten opzichte van een orthonormale basis is voor een lineaire afbeelding op een eindigdimensionale complexe inproductruimte na te gaan of de afbeelding unitair is:

Laat $L: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$ een lineaire afbeelding zijn met matrix $A$ . Dan zijn equivalent:

De lineaire afbeelding $L$ is unitair.
De matrix $A$ is unitair.
$A^{\star}\, A=I_n$ .
De kolommen van $A$ vormen een orthonormaal stelsel.
De rijen van $A$ vormen een orthonormaal stelsel.

Een reële vierkante matrix $A$ is dan en slechts dan unitair als hij orthogonaal is. Als $A$ reëel is, dan is namelijk $A^{\star}$ gelijk aan $A^\top$ omdat de complex geconjugeerde van een reëel getal zichzelf is.

De bewijzen gaan analoog aan de bewijzen in de reële context.

Laat $V$ een complexe inproductruimte zijn. Een unitaire spiegeling op $V$ is een unitaire afbeelding $S_{\vec{a},\lambda}:V\to V$ die een eigenvector $\vec{a}$ heeft bij een eigenwaarde $\lambda$ ongelijk aan $1$ zodanig dat $S$ elke vector in $\vec{a}^\perp$ vast houdt.

Bekijk nu het geval waarin $V = \mathbb{C}^3$ en $\vec{a} = \left[ 1 , \complexi , \complexi+1 \right] \phantom{xxx}\text{ en }\phantom{xxx} \lambda = -1$ Bepaal de matrix van de spiegeling $S_{\vec{a},\lambda}$ .

$\matrix{{{1}\over{2}} & {{\complexi}\over{2}} & {{\complexi-1}\over{2}} \\ -{{\complexi}\over{2}} & {{1}\over{2}} & {{-\complexi-1}\over{2}} \\ {{-\complexi-1}\over{2}} & {{\complexi-1}\over{2}} & 0 \\ }$

We gebruiken het afbeeldingsvoorschrift
$S_{\vec{a},\lambda}(\vec{x}) = \vec{x} - (1-\lambda)\frac{\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}}}{\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}}}\cdot \vec{a}$ Het bewijs van deze formule volgt uit het feit dat de afbeelding gedefinieerd door het voorschrift elke vector van het hypervlak $\vec{a}^{\perp}$ vast houdt en $\vec{a}$ heeft als eigenvector bij eigenwaarde $\lambda$ .

We substitueren nu de gegeven eigenvector $\vec{a} = \left[ 1 , \complexi , \complexi+1 \right]$ en bijbehorende eigenwaarde $\lambda=-1$ in bovenstaand afbeeldingsvoorschrift: $\begin{array}{rcl}S_{\vec{a},\lambda}(\vec{x})& =&\displaystyle \rv{x_1,x_2,x_3} - 2 \frac{x_{1}-\complexi\cdot x_{2}+\left(1-\complexi\right)\cdot x_{3}}{4}\cdot \left[ 1 , \complexi , \complexi+1 \right] \\ &=& \left[ {{x_{1}+\complexi\cdot x_{2}+\left(\complexi-1\right)\cdot x_{3}}\over{2}} , {{-\complexi\cdot x_{1}+x_{2}-\left(\complexi+1\right)\cdot x_{3}}\over{2}} , {{\left(-\complexi-1\right)\cdot x_{1}+\left(\complexi-1\right)\cdot x_{2}}\over{2}} \right] \end{array}$ Dus
$\begin{array}{rcl}S_{\vec{a},\lambda}(\rv{1,0,0})& =&\displaystyle \left[ {{1}\over{2}} , -{{\complexi}\over{2}} , {{-\complexi-1}\over{2}} \right] \\ S_{\vec{a},\lambda}(\rv{0,1,0})& =&\displaystyle \left[ {{\complexi}\over{2}} , {{1}\over{2}} , {{\complexi-1}\over{2}} \right] \\ S_{\vec{a},\lambda}(\rv{0,0,1})& =&\displaystyle \left[ {{\complexi-1}\over{2}} , {{-\complexi-1}\over{2}} , 0 \right] \end{array}$ We concluderen dat de matrix van $S_{\vec{a},\lambda}(\vec{x})$ gelijk is aan $\matrix{{{1}\over{2}} & {{\complexi}\over{2}} & {{\complexi-1}\over{2}} \\ -{{\complexi}\over{2}} & {{1}\over{2}} & {{-\complexi-1}\over{2}} \\ {{-\complexi-1}\over{2}} & {{\complexi-1}\over{2}} & 0 \\ }$

Nieuw voorbeeld