Het begrip isometrie

Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Isometrieën

Het begrip isometrie

Zoals we eerder zagen, zijn orthogonale afbeeldingen lineaire afbeeldingen van een inproductruimte naar zichzelf die lengte en daarom ook afstand behouden. Hier bekijken we het meer algemene geval van afbeeldingen tussen inproductruimten die afstand behouden.

Laat $V$ en $W$ reële inproductruimten zijn. Een afbeelding $L :V\rightarrow W$ heet een isometrie als $\norm{L(\vec{x})-L(\vec{y})}=\norm{\vec{x}-\vec{y}}$ voor alle $\vec{x},\vec{y}\in V$ . Als $L$ bovendien lineair is, dan heet $L$ een lineaire isometrie.

Anders gezegd, een afbeelding $L:V\to W$ is een isometrie wanneer de afstand tussen twee vectoren $\vec{x}$ en $\vec{y}$ behouden blijft onder de afbeelding $L$ . Er hoeft niet te gelden dat een isometrie ook de lengte van een vector behoudt. Als $L$ een lineaire isometrie is, dan behoudt ze wel altijd de lengte, zoals duidelijk zal worden uit de onderstaande stelling.

Orthogonale afbeeldingen Wanneer $W=V$ en $L$ een lineaire afbeelding is, dan is $L$ een orthogonale afbeelding. Iedere orthogonale afbeelding is een isometrie.

Translatie We zagen eerder dat een translatie lengte en afstand behouden houdt, maar niet lineair is. De translatie is dus een voorbeeld van een niet-lineaire isometrie.

In sommige literatuur wordt het begrip isometrie gebruikt voor een lineaire afbeelding die de lengte behoudt. De volgende stelling zal laten zien dat de definitie hierboven equivalent is voor zover we over lineaire afbeeldingen spreken.

Laat $V$ en $W$ reële inproductruimten zijn, en laat $L:V\to W$ een lineaire afbeelding zijn. De volgende uitspraken zijn equivalent:

Voor iedere $\vec{x}$ in $V$ geldt $\norm{L(\vec{x})}=\norm{\vec{x}}$ .
De afbeelding $L$ is een lineaire isometrie.
Voor iedere $\vec{x}$ en $\vec{y}$ in $V$ geldt $\dotprod{L(\vec{x})}{L(\vec{y})}=\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}$ .

We bewijzen eerst de implicatie $1\Rightarrow 2$ . Laat $V$ , $W$ en $L$ zijn als in de stelling. We nemen nu aan dat geldt $\norm{L(\vec{x})}=\norm{\vec{x}}$ voor iedere $\vec{x}$ in $V$ . De volgende gelijkheden laten zien dat $L$ ook de afstand behoudt: $\norm{L(\vec{x})-L(\vec{y})}=\norm{L(\vec{x}-\vec{y})}=\norm{\vec{x}-\vec{y}}$

Het bewijs $2\Rightarrow 1$ volgt uit de volgende gelijkheden: $\norm{L(\vec{x})}=\norm{L(\vec{x})-L(\vec{0})}=\norm{\vec{x} - \vec{0}}=\norm{\vec{x}}$ Merk op dat we bij beide bewijzen gebruik maken van het feit dat $L$ lineair is.

Om aan te tonen dat $1$ en $3$ equivalent zijn, herhalen we het bewijs dat we bij orthogonale afbeeldingen gegeven hebben.

Hier zijn enkele algemene eigenschappen van isometrieën.

Laat $U$ , $V$ , $W$ reële inproductruimten zijn.

Als $L:V\rightarrow W$ en $M :U\rightarrow V$ isometrieën zijn, dan is de samenstelling $L\,M:U\rightarrow W$ ook een isometrie.
Als $L:V\rightarrow W$ een isometrie is, dan is $L$ injectief.
Als $L:V\rightarrow W$ een lineaire isometrie is en $V$ en $W$ gelijke eindige dimensie hebben, dan is $L$ inverteerbaar en is ook $L^{-1}$ een lineaire isometrie.

1. Voor alle $\vec{x},\vec{y}\in U$ geldt $\norm{L\,M(\vec{x})-L\,M(\vec{y})}=\norm{M(\vec{x})-M(\vec{y}) }=\norm{\vec{x}- \vec{y}}$ omdat $L$ en $M$ isometrieën zijn, zodat ook $L\,M$ een isometrie is.

2. Stel $L(\vec{x}) = L(\vec{y})$ . Dan geldt $L(\vec{x}) - L(\vec{y})=\vec{0}$ , en dus $\norm{L(\vec{x}) - L(\vec{y})}=0$ . Omdat $L$ een isometrie is, volgt $\norm{\vec{x} - \vec{y}}=0$ , en, vanwege de positiviteit van de norm $\vec{x} -\vec{y}=\vec{0}$ , zodat $\vec{x}=\vec{y}$ . Dit bewijst dat $L$ injectief is.

3. Eerst tonen we aan dat $L$ inverteerbaar is. Uitspraak 2 laat zien dat $L$ injectief is. Omdat $V$ eindigdimensionaal is en $L$ lineair is, volgt uit Inverteerbaarheid bij gelijke dimensies voor domein en codomein dat $L$ inverteerbaar is. Voor alle $\vec{x}\in V$ geldt $\vec{x}=L\, L^{-1}(\vec{x})$ . Omdat $L$ lineair is, geldt wegens de vorige stelling dat $\norm{L(\vec{x})}=\norm{\vec{x}}$ . Er volgt nu dat $\norm{\vec{x}}=\norm{L\,L^{-1}\vec{x}}=\norm{L^{-1}\vec{x}}$ zodat $L^{-1}$ ook een lineaire isometrie is.

Laat $a$ een niet-negatief reëel getal zijn en $L :\mathbb{R}\to \mathbb{R}^3$ de lineaire afbeelding gegeven door $L (x)=\frac{x}{19}\,\rv{a, -15, -6 }$ We rekenen met het standaardinproduct op $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^3$ .

Voor welke waarde van $a$ is $L$ een isometrie?

$a=$ $10$

Omdat $L$ lineair is, is ze dan en slechts dan een isometrie als $\norm{L(x)}=\abs{x}$ voor alle reële $x$ . Dit leidt tot een vergelijking met onbekende $a$ , die we kunnen oplossen:
$\begin{array}{rcl}\norm{\dfrac{x}{19}\,\rv{a, -15, -6}}&=&\abs{x}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{afbeeldingsvoorschrift voor }L\text{ ingevuld}}\\ \abs{\dfrac{x}{19}}\cdot \norm{\rv{a, -15, -6 }}&=&\abs{x}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{multiplicativiteit van de norm }}\\ \norm{\rv{a, -15, -6}}&=&19\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{x = 1\text{ ingevuld en vermenigvuldigd met }19}\\ a^2+(-15)^2+(-6)^2&=&{19}^2\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lengte berekend en aan beide zijden gekwadrateerd}}\\ a&=&\pm 10\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{kwadratische vergelijking opgelost}}\\ a &=& 10\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{a\ge 0\text{ gebruikt}} \end{array}$

Nieuw voorbeeld