Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Isometrieën
Equivalentie van isometrieën
De vraag wanneer twee lineaire isometrieën gelijk zijn op keuze van een basis na, wordt beantwoord door de volgende stelling, die vergelijkbaar is met de stelling Matrix-equivalentie voor algemene lineaire afbeeldingen. In dit geval is elk tweetal lineaire isometrieën tussen twee inproductruimten van eindige dimensie matrix-equivalent, terwijl de bijbehorende inverteerbare matrices orthogonaal gekozen kunnen worden.
Matrix-equivalentie voor lineaire isometrieën
Laat en eindigdimensionale inproductruimten zijn van dimensie respectievelijk . Stel dat een lineaire isometrie is. Dan geldt:
- .
- Als een orthonormale basis van is, dan bestaat er een basis voor zodanig dat de matrix gelijk is aan de -matrix .
- Voor iedere lineaire isometrie is er een orthogonale afbeelding zodanig dat .
Volgens Matrix-equivalentie voor lineaire isometrieën is de lineaire isometrie gegeven door de matrix
Er is zelfs een orthogonale matrix , zodat . Bepaal zo'n matrix.
matrix-equivalent met de matrix .
Er is zelfs een orthogonale matrix , zodat . Bepaal zo'n matrix.
Als we beginnen met de standaardbasis voor , dan vormen de eerste twee kolommen van een orthonormaal stelsel. We vullen dit tweetal met een vector aan tot een orthonormale basis van en voegen deze vector als kolom toe aan de matrix om de matrix te krijgen:
De matrix bestaat uit de eerste twee kolommen van en is dus te schrijven als
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.