1. Het bewijs van de eerste uitspraak volgt uit het feit dat $L$ injectief is. In het bijzonder bestaat de kern van $L$ alleen uit de nulvector, zodat uit de Dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen volgt dat het beeld dimensie $m$ heeft; dus $W$ heeft dimensie minstens $m$, ofwel $n\ge m$. Dit kan ook ingezien worden door op te merken dat het beeld van de orthonormale basis $\alpha=\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_m}$ een orthonormaal, en dus onafhankelijk, stelsel vectoren in $W$ is.

2. Om de tweede uitspraak te bewijzen vullen we de beelden onder $L$ van het stelsel $\alpha=\basis{\vec{a}_1,\ldots, \vec{a}_m}$ aan tot een orthonormale basis $\beta$ van $W$. De basis $\beta$ bestaat dus uit de basis $\basis{L(\vec{a}_1),\ldots ,L(\vec{a}_m)}$ van $\im{L}$ en een orthonormale basis van het orthogonale complement $\im{L}^\perp$. De matrix ${}_\beta L_\alpha$van $L$ ten opzichte van de bases $\alpha$ en $\beta$ is gelijk aan de $(n\times m)$-matrix $\matrix{I_m\\ 0}$.

3. We zullen nu de derde uitspraak bewijzen. Uit de tweede uitspraak volgt dat er ook een orthonormale basis $\gamma$ voor $W$ is zodanig dat ${}_\gamma M_\alpha = \matrix{I_m\\ 0}$. In het bijzonder geldt $${}_\beta L_\alpha= \matrix{I_m\\ 0} ={}_\gamma M_\alpha={}_\gamma I_\beta \,{}_\beta M_\alpha$$ Laat $Y:W\to W$ de lineaire afbeelding zijn die ten opzichte van de basis $\beta$ van $W$ bepaald is door de matrix ${}_\gamma I_\beta$. Dan volgt uit bovenstaande gelijkheden dat $L = Y\, M$.

We moeten nog aantonen dat $Y$ orthogonaal is. Omdat $\beta$ en $\gamma$ orthonormale bases zijn, is de overgangsmatrix ${}_\gamma I_\beta$ orthogonaal. Volgens de stelling Orthogonale afbeeldingen op eindigdimensionale ruimten en orthonormale stelsels is dus ook de daardoor bepaalde lineaire afbeelding $Y:W\to W$ orthogonaal. Hiermee is de stelling bewezen.