Kwadrieken

Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Toepassingen van symmetrische matrices

Kwadrieken

Een kwadratische vorm op een vectorruimte is op te vatten als een homogene tweedegraads veelterm in de coördinaten van een vector ten opzichte van een vast gekozen basis van de vectorruimte. Een gewone kwadratische veelterm is de som van een kwadratische vorm, een lineaire afbeelding en een constante functie.

Een kwadratische veeltermfunctie $p$ op een vectorruimte $V$ is de som van een kwadratische vorm $q$ ongelijk aan $0$ , een lineaire functie $L:V\to\mathbb{R}$ en een constante functie $c$ .

Laat $\alpha$ een basis voor $V$ zijn. Dan is de functie $p$ als boven bepaald door
$\begin{array}{rcl}p(\alpha^{-1}(\vec{x})) &=& (x_1\cdots x_n)\ A\left(\,\begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array}\,\right)\ +(l_1 \cdots l_n)\ \left(\,\begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array}\,\right)\ +c \\&=& \dotprod{\vec{x}}{(A\,\vec{x})} +\dotprod{\vec{l}}{\vec{x}} +c\end{array}$ voor $\vec{x}$ in $\mathbb{R}^n$ , waarbij $A$ de matrix van $q$ ten opzichte van $\alpha$ is en $\vec{l} = \rv{l_1,\ldots,l_n}$ voldoet aan $L(\vec{x}) =\dotprod{\vec{l}}{\vec{x}}$ .

De kwadriek bepaald door $p$ is de verzameling vectoren $\vec{v}$ van $V$ die voldoen aan $p(\vec{v}) = 0$ .

Twee kwadrieken heten congruent als de een in de ander overgevoerd kan worden door een isometrie. Als $K$ een isometrie is, dan is de kwadriek bepaald door $p$ als boven congruent met de kwadriek bepaald door $p\circ K$ .

Vaak schrijven we de coördinaten van de vector als argumenten van $p$ en $q$ in plaats van de vector zelf. Zo maken we geen verschil tussen $p(x,y)$ en $p(\rv{x,y})$ als $\rv{x,y}$ een vector van $\mathbb{R}^2$ is.

3-dimensionaal voorbeeld De kwadratische veeltermfunctie $p$ op $\mathbb{R}^3$ bepaald door $p(x,y,z) = 2x^2 - 4xy+4xz-3y^2-3z^2+5x-7y+z-1$ kunnen we ook schrijven als $p(x,y,z)= \matrix{x & y & z}\, \matrix{2&-2&2\\-2&-3&0\\ 2&0&-3}\, \matrix{x\\ y\\ z} +\matrix{5&-7&1}\,\matrix{x\\ y\\ z} -1$

Een kwadriek heet ook wel kwadratisch (hyper)oppervlak. Als de dimensie van de vectorruimte gelijk is aan $2$ , dan is dit een kwadratische kromme in het vlak. Als de dimensie gelijk is aan $3$ , dan spreken we ook van een kwadratisch oppervlak.

Als $R$ een kwadriek is, dan is er een op een constante factor na unieke kwadratische veeltermfunctie die $R$ bepaalt. Het bewijs hiervan is te geven door te laten zien dat de veeltermfunctie op een constante factor na bepaald wordt door het feit dat de functie de waarde $0$ heeft in voldoende punten van $\mathbb{R}^n$ . Een concrete ondergrens voor dit aantal is $\frac12\cdot (n+1)\cdot (n+2)$ gelijk aan de dimensie van de lineaire ruimte van alle kwadratische vormen op $\mathbb{R}^{n+1}$ . In het bijzonder wordt een kwadratische kromme in het vlak bepaald door $\frac12\cdot 3\cdot 4=6$ punten ervan met de eigenschap dat geen enkel drietal op één lijn ligt.

Laat $Q$ de kwadriek zijn bepaald door $p$ en $K$ een inverteerbare lineaire afbeelding $V\to V$ . Dan behoort $\vec{v}$ tot $Q$ dan en slechts dan als $K^{-1}(\vec{v})$ behoort tot de kwadriek van $p\circ K$ . Immers, $(p\circ K)(K^{-1}\vec{v}) = p(K(K^{-1}\,\vec{v}))= p(\vec{v})$ dus $(p\circ K)(\vec{v})$ is precies dan gelijk aan nul als $p(K\vec{v}) = 0$ . Dit laat zien dat het beeld onder $K$ van de kwadriek behorend bij de standaardveelterm $p\circ K$ de kwadriek is van $p$ .

Het omgekeerde van de uitspraak over congruentie is ook waar. Als $R$ een kwadriek is die congruent is met $Q$ , dan is er per definitie een isometrie $L$ die $R$ in $Q$ overvoert, dus is $R$ de kwadriek bepaald door $p\circ L$ .

2-dimensionaal voorbeeldBekijk de kwadratische vorm $q(x,y) =2x^2-4xy+5y^2=q\left(\beta(\rv{x,y})\right)= \frac15(2x+y)^2+\frac65(x-2y)^2$ op $\mathbb{R}^2$ , waarbij $\beta= \basis{\frac{1}{\sqrt{5}}\rv{2,1},\frac{1}{\sqrt{5}}\rv{1,-2}}$ De schrijfwijze als lineaire combinatie van twee kwadraten is niet uniek. Door kwadraatafsplitsen is de functie $q$ bijvoorbeeld als volgt te schrijven als een som van kwadratische functies: $q(x,y) = 2(x-y)^2 +3y^2$ In termen van matrices is deze vergelijking te schrijven als $q(x,y) = q'(N(\rv{x,y}))$ waarbij $q'(x,y) = 2x^2+3y^2\quad\text{ en }\quad N = \matrix{1&-1\\ 0&1}$ Door $\rv{x,y}$ links en rechts te vervangen door $N^{-1}(\rv{x,y})$ krijgen we $q\circ\alpha^{-1} (\rv{x,y}) = q'(x,y)=2x^2+3y^2$ waarbij $\alpha^{-1}$ bestaat uit de kolommen van $N^{-1} = \matrix{1&1\\ 0&1}$ Ten opzichte van de basis $\alpha$ is de matrix van de kwadratische vorm dus ook diagonaal. Maar de matrix $N$ is niet orthogonaal. Daarom kunnen we niet concluderen dat de kwadriek bepaald door $q$ congruent is met de ellips bepaald door $q'$ . Er is geen isometrie die de ellips bepaald door $q'$ overvoert in de ellips bepaald door $q$ omdat de lengten van de assen (dat wil zeggen: lijnsegmenten die punten van de ellips op onderling grootste afstand verbinden) bij $q$ en $q'$ verschillen.

De stelling Kwadratische vormen en symmetrische matrices zegt dat elke kwadratische vorm te schrijven is in diagonaalvorm door middel van een orthogonale afbeelding. Hier laten we zien dat elke kwadratische veeltermfunctie in een standaardvorm te brengen is door middel van een isometrie.

Laat $p$ een kwadratische veeltermfunctie op $\mathbb{R}^n$ zijn. Dan zijn er een isometrie $K:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ , een index $r\le n$ , en reële getallen $l_1,\ldots,l_{r+1}$ zodanig dat $l_1$ ongelijk aan $0$ is en

$p(K(\vec{x})) =\begin{cases}\displaystyle\sum_{i=1}^r l_i\cdot x_i^2 +l_{r+1}\cdot x_{r+1} &\\ \phantom{xxx}\text{ of}&\\\displaystyle\sum_{i=1}^r l_i\cdot x_i^2 +l_{r+1} &\end{cases}$ waarbij $\vec{x} = \rv{x_1,\ldots,x_n}$ .

De kwadratische veeltermfunctie $p$ kan als volgt geschreven worden als functie van een kolomvector $\vec{x}$
$p(\vec{x}) = \vec{x}^\top\, A\, \vec{x}+\vec{l}^\top\, \vec{x}+c$ Hierbij is $A$ een symmetrische matrix, $\vec{l}$ een kolomvector en $c$ een reëel getal. De uitdrukking $\vec{l}^\top\, \vec{x}$ vatten we op als de het product van een $(1\times n)$ -matrix met een $(n\times 1)$ -matrix, die een reëel getal oplevert; het is dus een andere manier om het inproduct $\dotprod{\vec{l}}{\vec{x}}$ op te schrijven. Net zo is $\vec{x}^\top\, A\, \vec{x}$ gelijk aan het inproduct $\dotprod{\vec{x}}{(A\,\vec{x})}$ .

Laat $\alpha =\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n}$ een orthonormale basis van eigenvectoren van $A$ zijn met eigenwaarden $\lambda_1, \ldots,\lambda_n$ . Hierbij kiezen we de volgorde zó dat de eigenwaarden gelijk aan $0$ achteraan staan. Er is dus een index $r\le n$ met $\lambda_i\ne0$ voor $i\le r$ en $\lambda_i=0$ voor $i\gt r$ . We geven de coördinaten van $\vec{x} = \rv{x_1, \ldots ,x_n}$ ten opzichte van $\alpha$ aan door $\vec{x}' = \rv{x_1',\ldots, x_n'}$ . Het verband is dus
$\left(\,\begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array}\,\right)=B\ \left(\,\begin{array}{c} x_1'\\ \vdots\\ x_n' \end{array}\,\right)$ waarbij de kolommen van $B$ de vectoren $\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n$ zijn, zodat $B ={}_\varepsilon I_\alpha$ . In termen van vectoren:

$\vec{x} =B\, \vec{x}'$ Substitutie in het functievoorschrift voor $p(\vec{x})$ geeft

$\begin{array}{rcl}p(\vec{x}) &=& (\vec{x}' )^\top B^\top\,A\,B\,\vec{x}' +\vec{l}^\top\,B\,\vec{x}'+c\\&=&( \vec{x}' )^\top\, D\,\vec{x}' +(\vec{l}\,')^\top\,\vec{x}'+c\\ &=& \lambda_1x_1'^2+\cdots + \lambda_nx_n'^2+l_1'x_1'+\cdots +l_n'x_n'+c\end{array}$ Hierbij is $D=B^\top\,A\,B$ de $(n\times n)$ -diagonaalmatrix met de eigenwaarden $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ op de diagonaal en wordt $\vec{l}\,'$ gegeven door
$\vec{l}\,' =\left(\vec{l}^\top\, B \right)^\top=B^\top\,\vec{l}$ De componenten van $\vec{l}\,'$ zijn dus de $\alpha$ -coördinaten van de vector $\vec{l}$ .

Als $i\leq r$ , dan kunnen we de lineaire term met $x_i'$ wegwerken door middel van kwadraatafsplitsen. Hier voeren we dit proces uit met behulp van translaties: Laat $\vec{a}$ een kolomvector in $\mathbb{R}^n$ zijn, en schrijf $\vec{x}\,'' = T_{-\vec{a}}(\vec{x}')$ zodat $\vec{x}\,' = \vec{x}\,''+\vec{a}$ . Invullen van deze uitdrukking voor $\vec{x}\,'$ in $p(\vec{x})$ geeft

$\begin{array}{rcl}p(\vec{x}) &=& \left(\vec{x}\,''+\vec{a}\right)^\top \,D\,(\vec{x}\,''+\vec{a}) +(\vec{l}\,')^\top\,(\vec{x}\,''+\vec{a})+c\\ &&\color{blue}{\vec{x}\,' = \vec{x}\,''+\vec{a}\text{ ingevuld in }p(\vec{x})=(\vec{x}' )^\top\, D\,\vec{x}' +(\vec{l}\,')^\top\,\vec{x}'+c}\\&=& (\vec{x}\,'')^\top \,D\,\vec{x}\,''+(\vec{x}\,'')^\top\,D\,\vec{a}+\vec{a}^\top\,D\,\vec{x}\,''+\vec{a}^\top\, D \, \vec{a} +(\vec{l}\,')^\top\,\vec{x}\,''+(\vec{l}\,')^\top\,\vec{a}+c\\&&\color{blue}{\text{haakjes uitgewerkt}}\\&=& (\vec{x}\,'')^\top \,D\,\vec{x}\,''+\left(\vec{a}^\top\,D^\top\,\vec{x}\,''\right)^\top+\vec{a}^\top\,D\,\vec{x}\,''+\vec{a}^\top\, D \, \vec{a} +(\vec{l}\,')^\top\,\vec{x}\,''+(\vec{l}\,')^\top\,\vec{a}+c\\&&\color{blue}{\text{rekenregel }\left(\vec{a}^\top\,D^\top\,\vec{x}\,''\right)^\top=(\vec{x}\,'')^\top\,D\,\vec{a}}\\&=& (\vec{x}\,'')^\top \,D\,\vec{x}\,'' +2\vec{a}^\top\,D\,\vec{x}\,''+\vec{a}^\top\, D \, \vec{a} +(\vec{l}\,')^\top\,\vec{x}\,''+(\vec{l}\,')^\top\,\vec{a}+c\\&&\color{blue}{D^\top=D\text{ en }\left(\vec{a}^\top\,D\,\vec{x}\,''\right)^\top=\vec{a}^\top\,D\,\vec{x}\,''\text{ want dit is een scalar}}\\ &=& (\vec{x}\,'')^\top \,D\,\vec{x}\,''+\left(2D\,\vec{a}+\vec{l}\,'\right)^\top\,\vec{x}\,''+c'\\&&\color{blue}{\text{herschreven met }c' = \vec{a}^\top\, D \, \vec{a} +(\vec{l}\,')^\top\,\vec{a}+c}\end{array}$ Om de termen lineair in $x_i$ met $i\le r$ weg te werken, kiezen we $\vec{a} = -\frac12\cdot D' \vec{l}\,'$ waarbij $D'$ de diagonaalmatrix met $\lambda_i^{-1}$ als $i$ -de diagonaalelement voor $i\le r$ en verder alleen nullen. Dus op het deel loodrecht op de kern van $D$ is $D'$ de inverse van $D$ , en

$\vec{a}^\top=-\frac12 \cdot \rv{\lambda_1^{-1}l_1',\ldots,\lambda_r^{-1}l_r',0,\ldots,0}$

Het resultaat is

$\begin{array}{rcl}p(\vec{x}) &=& (\vec{x}\,'')^\top \,D\,\vec{x}\,'' +\left(\vec{l}\,''\right)^\top \,\vec{x}\,''+c'\end{array}$ waarbij $\vec{l}\,''$ de vector is met nullen in de eerste $r$ coördinaten en $l_i''=l_i'$ voor $i=r+1,\ldots,n$ .

Als $\vec{l}\,''=\vec{0}$ , dan is het functievoorschrift voor $p$ als gewenst, namelijk als in het tweede geval met $l_{r+1} = c'$ . Om dit in te zien kiezen we $L = B\,T_{\vec{a}}$ , zodat $\vec{x}=L\, (\vec{x}\,'')$ en

$p(L(\vec{x}\,'')) = p(\vec{x}) = (\vec{x}\,'')^\top \,D\,\vec{x}\,'' +l_{r+1}$ Vervangen we het argument $\vec{x}\,''$ aan beide zijden door $\vec{x}$ , dan vinden we de vereiste formule.

Veronderstel daarom dat $\vec{l}\,''$ niet gelijk is aan de nulvector. We zullen in de rest van het bewijs kijken naar isometrieën van $\mathbb{R}^n$ die de eerste $r$ coördinaten vast houden. Ze laten dus de volgende lineaire deelruimte invariant: $W = \linspan{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r}^\perp=\linspan{\vec{e}_{r+1},\ldots,\vec{e}_n}$ Omdat de eerste $r$ coördinaten van $\vec{l}\,''$ gelijk aan nul zijn, ligt deze vector in $W$ .

Schrijf $l_{r+1} = \norm{\vec{l}\,''}$ . Er is een orthogonale afbeelding $S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ die elke vector in $W^\perp=\linspan{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r}$ vast houdt en $l_{r+1}\vec{e}_{r+1}$ overvoert in $\vec{l}\,''$ . Een voorbeeld is de loodrechte spiegeling $S = S_{l_{r+1}\vec{e}_{r+1}-\vec{l}\,''}$ . Omdat $S$ orthogonaal is, laat ze volgens eigenschap 5 van orthogonale afbeeldingen ook $W$ invariant, zodat voor een willekeurige vector $\vec{y}$ in $\mathbb{R}^n$ geldt: $\begin{array}{rcll}S\,D\,\vec{y}&=&S\,D\left(\vec{w}+\vec{m}\right)&\color{blue}{\text{directesomdecompositie met }\vec{w}\in W\text{ en }\vec{m}\in W^\perp}\\&=&S\,D\,\vec{m}&\color{blue}{\vec{w}\in W=\ker{D}}\\&=&D\,\vec{m}&\color{blue}{D\,\vec{m}\in W^\perp\text { en }S\text{ houdt }W^\perp\text{ vast}}\\&=&D\left(S\,\vec{w}+\vec{m}\right)&\color{blue}{S\,\vec{w}\in W=\ker{D}}\\&=&D\,S\left(\vec{w}+\vec{m}\right)&\color{blue}{\vec{m}\in W^\perp\text{ en }S\text{ houdt }W^\perp\text{ vast}}\\&=&D\,S\,\vec{y}&\color{blue}{\vec{y}=\vec{w}+\vec{m}}\\\end{array}$ Hieronder gebruiken we dit resultaat in de vorm $S^{-1}\,D=D\,S^{-1}$ . Schrijf $\vec{x}\,''' = S^{-1}\vec{x}\,''$ Dan geldt $\vec{x}\,''' = \vec{x}\,''$ voor alle $\vec{x}''$ in $W^\perp$ , zodat $\begin{array}{rcl}p(\vec{x}) &=& (\vec{x}\,'')^\top \,D\,\vec{x}\,'' +\left(\vec{l}\,''\right)^\top \,\vec{x}\,''+c'\\&&\color{blue}{\text{eerder gevonden formule}}\\&=& (\vec{x}\,'')^\top\left(S^{-1}\right)^\top\,S^{-1}\,D\,\vec{x}\,'' +\left(\vec{l}\,''\right)^\top\left(S^{-1}\right)^\top\,S^{-1} \,\vec{x}\,''+c'\\&&\color{blue}{\left(S^{-1}\right)^\top\,S^{-1}=I_n\text{ omdat }S\text{ orthogonaal is}}\\&=& (S^{-1}\vec{x}\,'')^\top\,\,D\,\left(S^{-1}\vec{x}\,''\right)+\left(S^{-1}\vec{l}\,''\right)^\top \,(S^{-1}\vec{x}\,'')+c'\\&&\color{blue}{\text{rekenregel }\left(X\,Y\right)^\top=Y^\top\,X^\top\text{ en }S^{-1}\,D=D\,S^{-1}}\\&=& (\vec{x}\,''')^\top \,D\,\vec{x}\,''' +\left(l_{r+1}\vec{e}_{r+1}\right)^\top \,\vec{x}\,'''+c'\\&&\color{blue}{\vec{x}\,''' = S^{-1}\vec{x}\,''\text{ en }S\left(l_{r+1}\vec{e}_{r+1}\right)=\vec{l}\,''}\end{array}$ Ten slotte kiezen we de vector $\vec{b} = c'\cdot l_{r+1}^{-1}\,\vec{e}_{r+1}$ en schrijven we $\vec{x}\,'''' = T_{-\vec{b}}\,\vec{x}\,'''$ zodat $\vec{x}\,''' = \vec{x}\,'''' - \vec{b}$ en

$\begin{array}{rcl}p(\vec{x}) &=&(\vec{x}\,''')^\top \,D\,\vec{x}\,''' +\left(l_{r+1}\vec{e}_{r+1}\right)^\top \,\vec{x}\,'''+c'\\&&\color{blue}{\text{formule hierboven}}\\&=&(\vec{x}\,''''- \vec{b})^\top \,D\,\left(\vec{x}\,''''- \vec{b}\right)+\left(l_{r+1}\vec{e}_{r+1}\right)^\top \,(\vec{x}\,''''-\vec{b})+c'\\&&\color{blue}{\vec{x}\,''' = \vec{x}\,'''' - \vec{b}}\\&=& (\vec{x}\,'''')^\top \,D\,\vec{x}\,'''' +\left(l_{r+1}\vec{e}_{r+1}\right)^\top \,\vec{x}\,''''-\left(l_{r+1}\vec{e}_{r+1}\right)^\top \,\vec{b}+c'\\&&\color{blue}{\vec{b}^\top\,D=\vec{0}^\top\text{ en }D\,\vec{b}=\vec{0}\text{ omdat }\vec{b}\in W=\ker{D}}\\&=& (\vec{x}\,'''')^\top \,D\,\vec{x}\,'''' +\left(l_{r+1}\vec{e}_{r+1}\right)^\top \,\vec{x}\,''''-c'\left(l_{r+1}\vec{e}_{r+1}\right)^\top \, l_{r+1}^{-1}\vec{e}_{r+1}+c'\\&&\color{blue}{\vec{b} = c'\cdot l_{r+1}^{-1}\,\vec{e}_{r+1}\text{ ingevuld}}\\&=& (\vec{x}\,'''')^\top \,D\,\vec{x}\,'''' +l_{r+1}\cdot \vec{e}_{r+1}^\top \,\vec{x}\,''''\\&&\color{blue}{\text{laatste twee termen vallen tegen elkaar weg dankzij keuze voor }\vec{b}}\\&=& (\vec{x}\,'''')^\top \,D\,\vec{x}\,''''+l_{r+1}\cdot {x''''}_{r+1}\end{array}$ Dit laat zien dat we op de functieregel van het eerste geval uitkomen.

We laten nog zien waarom het resultaat ook in het eerste geval geformuleerd kan worden als in de stelling. Alle transformaties samenstellend, zien we dat $K= B\,T_{\vec{a}}\,S\,T_{\vec{b}}$ een isometrie is die voldoet aan $\vec{x} = K(\vec{x}\,'''')$ :

$\vec{x} = B\, \vec{x}\,' = B\,T_{\vec{a}}\vec{x}\,''=B\,T_{\vec{a}}\,S\,\vec{x}\,''' = B\,T_{\vec{a}}\,S\,T_{\vec{b}}\,\vec{x}\,''''=K(\vec{x}\,'''')$ Vullen we dit in in het functievoorschrift van $p$ , dan vinden we

$p(K(\vec{x}\,'''')) = (\vec{x}\,'''')^\top \,D\,\vec{x}\,'''' +l_{r+1}\cdot {x''''}_{r+1}$ Vervangen we ten slotte $\vec{x}\,''''$ door $\vec{x}$ , dan komen we uit op

$\begin{array}{rcl}p(K(\vec{x})) &=& \vec{x}^\top \,D\,\vec{x} +l_{r+1}\cdot {x}_{r+1}\\ & =& \displaystyle\sum_{i=1}^r l_i\cdot x_i^2 +l_{r+1}\cdot x_{r+1}\end{array}$

Het bewijs geeft ook aan hoe een methode werkt om een kwadriek bepaald door $p(\vec{x}) = \vec{x}^\top\, A\, \vec{x}+\vec{l}^\top\, \vec{x}+c$ met behulp van isometrieën in standaardvorm te brengen:

Stap 1: Bepaal een orthonormale basis $\alpha$ van $\mathbb{R}^n$ bestaande uit eigenvectoren van $A$ . Dit geeft de orthogonale matrix $B = {}_\varepsilon I_\alpha$ , zodat $B^\top \, A\, B$ diagonaalvorm heeft.
Stap 2: Werk met met behulp van een translatie $T_{\vec{a}}$ de lineaire termen weg van variabelen die ook in het homogene kwadratische deel voorkomen.

Als er geen lineaire term overblijft, dan is $K = B\,T_{\vec{a}}$ een isometrie als vereist. Als er een lineaire term overblijft, dan voeren we nog de volgende twee stappen uit:

Stap 3: Herschrijf het lineaire deel met behulp van een orthogonale transformatie tot een constant veelvoud van $x_{r+1}$ , waarbij $r$ de rang van $A$ is. De transformatie moet de eerste $r$ basisvectoren vast houden. De loodrechte spiegeling $S = S_{\norm{\vec{l}\,''}\cdot \vec{e}_{r+1}-\vec{l}\,''}$ voldoet, waarbij $\vec{l}\,''$ de vector van de coëfficiënten van de lineaire termen is.
Stap 4: Werk de constante term weg met behulp van een translatie $T_{\vec{b}}$ .

Nu is $K = B\,T_{\vec{a}}\,S\,T_{\vec{b}}= B\, S\,T_{S\vec{a}+\vec{b}}$ een isometrie met de eigenschap dat $(p\circ K)(\vec{x})$ in standaardvorm is. Voorbeelden van de werking van dit algoritme staan onderaan de pagina.

2-dimensionale classificatie

We bekijken de gevolgen van de stelling voor kwadratische krommen. Op congruentie en vermenigvuldiging met een constante ongelijk $0$ na zijn er negen gevallen voor de vergelijking van de kromme in termen van $\rv{x,y}$ , waarbij de vergelijking zo geschaald is dat de coëfficiënt van $x^2$ gelijk is aan $1$ . We noteren de coëfficiënt van $y^2$ met $b$ , de coëfficiënt van $y$ met $c$ , en de constante term met $d$ :

$\begin{array}{lrccl}\text{vergelijking}&&\text{meetkundige figuur}&&\text{restricties parameters}\\ \hline x^2+y^2 = d&\phantom{xxx}&\text{cirkel}&\phantom{xxx}&d\gt0\\ x^2+by^2 = d&\phantom{xxx}&\text{ellips maar geen cirkel}&\phantom{xxx}&b,d\gt0, b\ne1\\ x^2+by^2 = d&\phantom{xxx}&\text{hyperbool}&\phantom{xxx}&b\lt0,d\ne0\\ x^2+cy = 0&\phantom{xxx}&\text{parabool}&\phantom{xxx}&c\ne0\\ x^2+by^2=0&\phantom{xxx}&\text{twee snijdende lijnen}&\phantom{xxx}&b\lt0\\ x^2 = d&\phantom{xxx}&\text{twee parallelle lijnen}&\phantom{xxx}&d\gt0\\ x^2 = 0&\phantom{xxx}&\text{één lijn}&\phantom{xxx}& \\ x^2+by^2 = 0&\phantom{xxx}&\text{een enkel punt}&\phantom{xxx}& b\gt0\\ x^2+by^2 = d&\phantom{xxx}&\text{lege verzameling}&\phantom{xxx}&b\ge0,\,d\lt0\end{array}$

In het algemeen betekent het feit dat de graad 2 is, dat elke lijn de kromme in twee punten snijdt. Uitzonderingen zijn de enkele lijn, het punt, en de lege verzameling. In het geval van één lijn wordt de regel goed gemaakt door te spreken van twee samenvallende lijnen. In de andere twee gevallen kunnen twee punten in het vlak gevonden worden na uitbreiding van het vlak tot een complexe inproductruimte.

Het type meetkundige figuur, waarbij we de cirkel niet apart van de ellips zetten, is ook invariant onder affiene transformaties (dat wil zeggen: samenstellingen van translaties en inverteerbare lineaire afbeeldingen). De precieze coëfficiënten in de standaardvorm blijven dan niet behouden, maar de tekens van de kwadratische termen wel.

De vorm en grootte van een kwadriek veranderen niet onder een isometrie $L$ . De isometrie $L$ verandert dus alleen de positie in de ruimte. De kwadriek bepaald door $p$ verandert niet als $p(\vec{x})$ met een scalair ongelijk $0$ vermenigvuldigd wordt.

De tweede stap in het bewijs en het algoritme is in feite kwadraatafsplitsen. De translatie over $\vec{a}$ kan ook als volgt beschreven worden: Als $i\leq r$ , dan schrijven we
$\lambda_ix_i'^2+b_i'x_i'=\lambda_i\Big( x_i'^2+\frac{b_i'}{\lambda_i}x_i\Big)\ =\lambda_i \Big( x_i'+\frac{b_i'}{2\lambda_i}\Big)^2-\frac{b_i'^2}{4\lambda_i}$ Voor alle $i$ met $i\leq r$ vervangen we nu $x_i'$ door $x_i''-\frac{b_i'}{2\lambda_i}$ .

De oorsprong is een speciaal punt voor de kwadratische veeltermfunctie in standaardvorm. Het is een soort zwaartepunt en het snijpunt van de hoofdassen (lees: de $1$ -dimensionale opspansels van lineair onafhankelijke eigenvectoren van $A$ ).

UniciteitDe standaardvorm is niet uniek. De volgorde van de diagonaalelementen van $A$ is bijvoorbeeld niet vastgelegd (hoewel we de diagonaalelementen in het algemeen ordenen naar afnemende absolute waarde) en de coëfficiënt van de lineaire term met $x_{r+1}$ kan met $-1$ vermenigvuldigd worden.

Bekijk de kwadratische functie op $\mathbb{R}^3$ gegeven door
$p(x,y) = 16 x^2+24 x y+40 x+9 y^2+30 y+75$ Bepaal een standaardvorm $p'$ voor $p$ .

$p' (x,y) =$ $25 x^2+50$

We schrijven $\begin{array}{rcl}p(x,y) &=& \matrix{x&y}\, A\, \matrix{x\\ y} + L \cv{x\\ y} + 75 \\ &&\text{waarbij }A\text{ de matrix van de kwadratische vorm van }p\text{ is:}\\ A &=& \matrix{16 & 12 \\ 12 & 9 \\ }\\&&\text{en }L\text{ de }(1\times 2)\text{-matrix van coëfficiënten van de lineaire vorm van }p\text{: }\\ L &=& \matrix{40 & 30 \\ }\end{array}$ De karakteristieke veelterm van $A$ in de variabele $t$ is
$p_A(t) = t^2-25 t= \left(t-25\right)\cdot t$ De eigenwaarden van $A$ zijn dus
$\begin{array}{rl} 25&\text{ met multipliciteit }1\\ 0&\text{ met multipliciteit }1 \end{array}$ De kolomvectoren van onderstaande matrix $B$ vormen een orthonormale basis van $\mathbb{R}^2$ bestaande uit eigenvectoren van $A$ : $B = \matrix{-{{4}\over{5}} & -{{3}\over{5}} \\ -{{3}\over{5}} & {{4}\over{5}} \\ }$ Toepassing van $B$ op het argument van de kwadratische veeltermfunctie $p$ geeft $\begin{array}{rcl}(p\circ B)(x,y) &=& \matrix{x&y} \, B^\top \, A\, B\, \matrix{x\\ y}+ L\, B\, \cv{x\\ y} + 75\\ &=& \matrix{x&y} \,\matrix{25 & 0 \\ 0 & 0 \\ }\,\matrix{x\\ y}\\ &&\displaystyle \phantom{xxx}+\matrix{-50 & 0 \\ }\, \cv{x\\ y} + 75\\ &= & \displaystyle 25 x^2-50 x+75\end{array}$ Om de lineaire termen weg te werken van variabelen die in kwadratische termen voorkomen, gebruiken we de translatievector $\vec{a} = \left[ 1 , 0 \right]$ Substitutie van $\rv{x,y}$ door $T_{\vec{a}}\rv{x,y}$ geeft
$\begin{array}{rcl}(p\circ B\circ T_{\vec{a}})(x,y) &=& (p\circ B)(\rv{x,y} +\vec{a})\\ &=&\displaystyle (p\circ B)\left(\left[ x+1 , y \right] \right)\\ &=& \displaystyle 25 x^2+50 \end{array}$ We komen nu toe aan de derde stap van het algoritme. Er is geen lineaire term, dus de veeltermfunctie hoeft niet verder bijgewerkt te worden. Hiermee zijn we op een standaardvorm uitgekomen:
$\begin{array}{rcl}(p\circ B\circ T_{\vec{a}})(x,y) &=& \displaystyle 25 x^2+50 \end{array}$

De kwadriek gegeven door $p(x,y) = 0$ kan nog eenvoudiger beschreven worden door $p'(x,y)$ te delen door $25$ . We concluderen dat de kwadriek van $p$ congruent is met de verzameling punten $\rv{x,y}$ die voldoen aan $x^2+2 =0$ De isometrie die de kwadriek van $p$ overvoert in de kwadriek van $p'$ is
$\begin{array}{rcl} \left(B\,T_{\vec{a}}\, \, \right)^{-1} &=&\displaystyle \,T_{-\vec{a}}\, B^{\top} \\ &=&\displaystyle T_{\left[ -1 , 0 \right] } \, \matrix{-{{4}\over{5}} & -{{3}\over{5}} \\ -{{3}\over{5}} & {{4}\over{5}} \\ }\\ \end{array}$ De kwadriek van $x^2+2$ , en dus ook van $16 x^2+24 x y+40 x+9 y^2+30 y+75$ en diens standaardvorm $25 x^2+50$ , is een lege verzameling.

Nieuw voorbeeld