Een kwadratische vorm op een vectorruimte is op te vatten als een homogene tweedegraads veelterm in de coördinaten van een vector ten opzichte van een vast gekozen basis van de vectorruimte. Een gewone kwadratische veelterm is de som van een kwadratische vorm, een lineaire afbeelding en een constante functie.
Een kwadratische veeltermfunctie op een vectorruimte is de som van een kwadratische vorm ongelijk aan , een lineaire functie en een constante functie .
Laat een basis voor zijn. Dan is de functie als boven bepaald door
voor
in
, waarbij
de matrix van
ten opzichte van
is en
voldoet aan
.
De kwadriek bepaald door is de verzameling vectoren van die voldoen aan .
Twee kwadrieken heten congruent als de een in de ander overgevoerd kan worden door een isometrie. Als een isometrie is, dan is de kwadriek bepaald door als boven congruent met de kwadriek bepaald door .
Vaak schrijven we de coördinaten van de vector als argumenten van en in plaats van de vector zelf. Zo maken we geen verschil tussen en als een vector van is.
De kwadratische veeltermfunctie
op
bepaald door
kunnen we ook schrijven als
Een kwadriek heet ook wel kwadratisch (hyper)oppervlak. Als de dimensie van de vectorruimte gelijk is aan , dan is dit een kwadratische kromme in het vlak. Als de dimensie gelijk is aan , dan spreken we ook van een kwadratisch oppervlak.
Als een kwadriek is, dan is er een op een constante factor na unieke kwadratische veeltermfunctie die bepaalt. Het bewijs hiervan is te geven door te laten zien dat de veeltermfunctie op een constante factor na bepaald wordt door het feit dat de functie de waarde heeft in voldoende punten van . Een concrete ondergrens voor dit aantal is
gelijk aan de dimensie van de lineaire ruimte van alle kwadratische vormen op
. In het bijzonder wordt een kwadratische kromme in het vlak bepaald door
punten ervan met de eigenschap dat geen enkel drietal op één lijn ligt.
Laat de kwadriek zijn bepaald door en een inverteerbare lineaire afbeelding . Dan behoort tot dan en slechts dan als behoort tot de kwadriek van . Immers,
dus
is precies dan gelijk aan nul als
. Dit laat zien dat het beeld onder
van de kwadriek behorend bij de standaardveelterm
de kwadriek is van
.
Het omgekeerde van de uitspraak over congruentie is ook waar. Als een kwadriek is die congruent is met , dan is er per definitie een isometrie die in overvoert, dus is de kwadriek bepaald door .
Bekijk de kwadratische vorm
op
, waarbij
De schrijfwijze als lineaire combinatie van twee kwadraten is niet uniek. Door
kwadraatafsplitsen is de functie
bijvoorbeeld als volgt te schrijven als een som van kwadratische functies:
In termen van matrices is deze vergelijking te schrijven als
waarbij
Door
links en rechts te vervangen door
krijgen we
waarbij
bestaat uit de kolommen van
Ten opzichte van de basis
is de matrix van de kwadratische vorm dus ook diagonaal. Maar de matrix
is niet orthogonaal. Daarom kunnen we niet concluderen dat de kwadriek bepaald door
congruent is met de ellips bepaald door
. Er is geen
isometrie die de ellips bepaald door
overvoert in de ellips bepaald door
omdat de lengten van de assen (dat wil zeggen: lijnsegmenten die punten van de ellips op onderling grootste afstand verbinden) bij
en
verschillen.
De stelling Kwadratische vormen en symmetrische matrices zegt dat elke kwadratische vorm te schrijven is in diagonaalvorm door middel van een orthogonale afbeelding. Hier laten we zien dat elke kwadratische veeltermfunctie in een standaardvorm te brengen is door middel van een isometrie.
Laat een kwadratische veeltermfunctie op zijn. Dan zijn er een isometrie , een index , en reële getallen zodanig dat ongelijk aan is en
waarbij
.
De kwadratische veeltermfunctie kan als volgt geschreven worden als functie van een kolomvector
Hierbij is
een symmetrische matrix,
een kolomvector en
een reëel getal. De uitdrukking
vatten we op als de het product van een
-matrix met een
-matrix, die een reëel getal oplevert; het is dus een andere manier om het inproduct
op te schrijven. Net zo is
gelijk aan het inproduct
.
Laat een orthonormale basis van eigenvectoren van zijn met eigenwaarden . Hierbij kiezen we de volgorde zó dat de eigenwaarden gelijk aan achteraan staan. Er is dus een index met voor en voor . We geven de coördinaten van ten opzichte van aan door . Het verband is dus
waarbij de kolommen van
de vectoren
zijn, zodat
. In termen van vectoren:
Substitutie in het functievoorschrift voor
geeft
Hierbij is
de
-diagonaalmatrix met de eigenwaarden
op de diagonaal en wordt
gegeven door
De componenten van
zijn dus de
-coördinaten van de vector
.
Als , dan kunnen we de lineaire term met wegwerken door middel van kwadraatafsplitsen. Hier voeren we dit proces uit met behulp van translaties: Laat een kolomvector in zijn, en schrijf
zodat
. Invullen van deze uitdrukking voor
in
geeft
Om de termen lineair in
met
weg te werken, kiezen we
waarbij
de diagonaalmatrix met
als
-de diagonaalelement voor
en verder alleen nullen. Dus op het deel loodrecht op de kern van
is
de inverse van
, en
Het resultaat is
waarbij
de vector is met nullen in de eerste
coördinaten en
voor
.
Als , dan is het functievoorschrift voor als gewenst, namelijk als in het tweede geval met . Om dit in te zien kiezen we , zodat en
Vervangen we het argument
aan beide zijden door
, dan vinden we de vereiste formule.
Veronderstel daarom dat niet gelijk is aan de nulvector. We zullen in de rest van het bewijs kijken naar isometrieën van die de eerste coördinaten vast houden. Ze laten dus de volgende lineaire deelruimte invariant:
Omdat de eerste
coördinaten van
gelijk aan nul zijn, ligt deze vector in
.
Schrijf . Er is een orthogonale afbeelding die elke vector in vast houdt en overvoert in . Een voorbeeld is de loodrechte spiegeling . Omdat orthogonaal is, laat ze volgens eigenschap 5 van orthogonale afbeeldingen ook invariant, zodat voor een willekeurige vector in geldt:
Hieronder gebruiken we dit resultaat in de vorm
. Schrijf
Dan geldt
voor alle
in
, zodat
Ten slotte kiezen we de vector
en schrijven we
zodat
en
Dit laat zien dat we op de functieregel van het eerste geval uitkomen.
We laten nog zien waarom het resultaat ook in het eerste geval geformuleerd kan worden als in de stelling. Alle transformaties samenstellend, zien we dat een isometrie is die voldoet aan :
Vullen we dit in in het functievoorschrift van
, dan vinden we
Vervangen we ten slotte
door
, dan komen we uit op
Het bewijs geeft ook aan hoe een methode werkt om een kwadriek bepaald door
met behulp van isometrieën in standaardvorm te brengen:
- Stap 1: Bepaal een orthonormale basis van bestaande uit eigenvectoren van . Dit geeft de orthogonale matrix , zodat diagonaalvorm heeft.
- Stap 2: Werk met met behulp van een translatie de lineaire termen weg van variabelen die ook in het homogene kwadratische deel voorkomen.
Als er geen lineaire term overblijft, dan is een isometrie als vereist. Als er een lineaire term overblijft, dan voeren we nog de volgende twee stappen uit:
- Stap 3: Herschrijf het lineaire deel met behulp van een orthogonale transformatie tot een constant veelvoud van , waarbij de rang van is. De transformatie moet de eerste basisvectoren vast houden. De loodrechte spiegeling voldoet, waarbij de vector van de coëfficiënten van de lineaire termen is.
- Stap 4: Werk de constante term weg met behulp van een translatie .
Nu is
een isometrie met de eigenschap dat
in standaardvorm is. Voorbeelden van de werking van dit algoritme staan onderaan de pagina.
We bekijken de gevolgen van de stelling voor kwadratische krommen. Op congruentie en vermenigvuldiging met een constante ongelijk na zijn er negen gevallen voor de vergelijking van de kromme in termen van , waarbij de vergelijking zo geschaald is dat de coëfficiënt van gelijk is aan . We noteren de coëfficiënt van met , de coëfficiënt van met , en de constante term met :
In het algemeen betekent het feit dat de graad 2 is, dat elke lijn de kromme in twee punten snijdt. Uitzonderingen zijn de enkele lijn, het punt, en de lege verzameling. In het geval van één lijn wordt de regel goed gemaakt door te spreken van twee samenvallende lijnen. In de andere twee gevallen kunnen twee punten in het vlak gevonden worden na uitbreiding van het vlak tot een complexe inproductruimte.
Het type meetkundige figuur, waarbij we de cirkel niet apart van de ellips zetten, is ook invariant onder affiene transformaties (dat wil zeggen: samenstellingen van translaties en inverteerbare lineaire afbeeldingen). De precieze coëfficiënten in de standaardvorm blijven dan niet behouden, maar de tekens van de kwadratische termen wel.
De vorm en grootte van een kwadriek veranderen niet onder een isometrie . De isometrie verandert dus alleen de positie in de ruimte. De kwadriek bepaald door verandert niet als met een scalair ongelijk vermenigvuldigd wordt.
De tweede stap in het bewijs en het algoritme is in feite kwadraatafsplitsen. De translatie over kan ook als volgt beschreven worden: Als , dan schrijven we
Voor alle
met
vervangen we nu
door
.
De oorsprong is een speciaal punt voor de kwadratische veeltermfunctie in standaardvorm. Het is een soort zwaartepunt en het snijpunt van de hoofdassen (lees: de -dimensionale opspansels van lineair onafhankelijke eigenvectoren van ).
De standaardvorm is niet uniek. De volgorde van de diagonaalelementen van is bijvoorbeeld niet vastgelegd (hoewel we de diagonaalelementen in het algemeen ordenen naar afnemende absolute waarde) en de coëfficiënt van de lineaire term met kan met vermenigvuldigd worden.
Bekijk de kwadratische functie op
gegeven door
Bepaal een
standaardvorm voor
.
We schrijven
De karakteristieke veelterm van
in de variabele
is
De eigenwaarden van
zijn dus
De kolomvectoren van onderstaande matrix
vormen een orthonormale basis van
bestaande uit eigenvectoren van
:
Toepassing van
op het argument van de kwadratische veeltermfunctie
geeft
Om de lineaire termen weg te werken van variabelen die in kwadratische termen voorkomen, gebruiken we de translatievector
Substitutie van
door
geeft
We komen nu toe aan de derde stap van het algoritme. Er is geen lineaire term, dus de veeltermfunctie hoeft niet verder bijgewerkt te worden. Hiermee zijn we op een standaardvorm uitgekomen:
De kwadriek gegeven door
kan nog eenvoudiger beschreven worden door
te delen door
. We concluderen dat de kwadriek van
congruent is met de verzameling punten
die voldoen aan
De isometrie die de kwadriek van
overvoert in de kwadriek van
is
De kwadriek van
, en dus ook van
en diens standaardvorm
, is een enkel punt.