Isometrieën en orthonormale stelsels

Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Isometrieën

Isometrieën en orthonormale stelsels

Inproducten van tweetallen vectoren uit een stelsel veranderen niet na overgang op hun beelden onder lineaire isometrieën. In de volgende stelling karakteriseren we het begrip lineaire isometrie met behulp van orthonormale stelsels. Het nut zal blijken als we matrices van orthogonale afbeeldingen bespreken.

Laat $V$ en $W$ reële inproductruimten zijn. Voor een lineaire afbeelding $L:V\rightarrow W$ zijn de volgende twee uitspraken equivalent:

$L$ is een isometrie.
Voor ieder orthonormaal stelsel $\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n$ in $V$ is $L(\vec{a}_1),\ldots , L(\vec{a}_n)$ een orthonormaal stelsel in $W$ .

We bewijzen elk van de twee implicaties afzonderlijk.

$1.\Rightarrow 2.$ Als $L$ een isometrie is, dan geldt dat inproduct en lengte invariant zijn onder $L$ . Laat $\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n$ een orthonormaal stelsel zijn. Dan is het inproduct $\dotprod{L(\vec{a}_i)}{L(\vec{a}_j)}$ gelijk aan $\dotprod{\vec{a}_i}{\vec{a}_j}$ , en dus gelijk aan $1$ als $i=j$ , en gelijk aan $0$ als $i\neq j$ . Dit betekent dat $L(\vec{a}_1),\ldots,L(\vec{a}_n)$ een orthonormaal stelsel is.

$2.\Rightarrow 1.$ Laat $\vec{x}\in V$ . We laten zien dat $\norm{L(\vec{x})}=\norm{\vec{x}}$ . Als $\vec{x}=\vec{0}$ , dan is dit waar omdat beide zijden gelijk aan $0$ zijn. Veronderstel nu dat $\vec{x}$ ongelijk is aan de nulvector. Dan heeft $\frac{1}{\norm{\vec{x}}}\vec{x}$ lengte $1$ . Dit is dus een orthonormaal stelsel van één vector, zodat $\norm{L\left(\frac{1}{\norm{\vec{x}}}\vec{x}\right)}=1$ We leiden hieruit af: $\begin{array}{rcl}\norm{L(\vec{x})}&=&\norm{\norm{\vec{x}}\cdot L\left(\frac{1}{\norm{ \vec{x}}}\vec{x}\right)}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van }L}\\ &=&\norm{\vec{x}}\cdot \norm{L\left(\frac{1}{\norm{\vec{x}}}\vec{x}\right)}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{multiplicativiteit van de norm }}\\ &=&\norm{\vec{x}}\cdot 1\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{hierboven afgeleide gelijkheid}}\\&=&\norm{\vec{x}}\end{array}$ Omdat $L$ lineair is, komt dit resultaat overeen met de stelling dat $L$ een isometrie is.

Net als in het geval van orthogonale afbeeldingen worden orthonormale stelsels door $L$ overgevoerd in orthonormale stelsels. Als $V=W$ , dan zegt de stelling vanwege de stelling Orthogonale afbeeldingen en orthonormale stelsels dat de lineaire afbeelding dan en slechts dan een lineaire isometrie is als ze orthogonaal is.

Als $V$ eindigdimensionaal is, dan hoeven we de beelden van slechts één orthonormaal stelsel te bestuderen om te kunnen concluderen dat de afbeelding een isometrie is.

Laat $V$ en $W$ reële inproductruimten zijn. Veronderstel dat $V$ eindige dimensie $m$ heeft. Voor een lineaire afbeelding $L:V\rightarrow W$ zijn de volgende drie uitspraken equivalent:

$L$ is een isometrie.
Voor ieder orthonormaal stelsel $\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n$ in $V$ is $L(\vec{a}_1),\ldots , L(\vec{a}_n)$ een orthonormaal stelsel in $W$ .
Er is een orthonormale basis $\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_m$ van $V$ waarvoor $L(\vec{a}_1),\ldots , L(\vec{a}_m)$ een orthonormaal stelsel in $W$ is.

Het is voldoende de volgende keten van implicaties aan te tonen: $1\Rightarrow 2\Rightarrow 3 \Rightarrow 1$ .

$1\Rightarrow 2$ Dit volgt uit de vorige stelling.

$2\Rightarrow 3$ Volgens de procedure van Gram-Schmidt kunnen we een orthonormale basis $\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_m$ van $V$ kiezen. In het bijzonder is dit een orthonormaal stelsel, en wordt dit dus afgebeeld op een orthonormaal stelsel in $W$ wegens de aanname dat uitspraak $2$ geldt.

$3\Rightarrow 1$ Laat $\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_m}$ een orthonormale basis van $V$ zijn zodat $\basis{L(\vec{a}_1),\ldots ,L(\vec{a}_m)}$ een orthonormaal stelsel is. Laat verder $\vec{x}\in V$ . Als $\vec{x}=\lambda_1 \vec{a}_1 +\cdots + \lambda_m \vec{a}_m$ , dan is $L(\vec{x})=\lambda_1 L(\vec{a}_1) + \cdots + \lambda_m L(\vec{a}_m)$ . Pas nu de Stelling van Pythagoras toe op beide uitdrukkingen (het kwadraat van de lengte van $\lambda_i \vec{a}_i$ én van $\lambda_i L(\vec{a}_i)$ is $\lambda_i^2$ ):
$\norm{\vec{x}}^2 =\lambda_1^2 + \cdots + \lambda_m^2 \quad \hbox{en} \quad \norm{L(\vec{x})}^2 = \lambda_1^2 + \cdots + \lambda_m^2$ Hieruit volgt onmiddellijk $\norm{L(\vec{x})}=\norm{\vec{x}}$ , en dus (omdat $L$ lineair is) dat $L$ een isometrie is.

In het geval $V=W$ komt deze stelling overeen met de stelling Orthogonale afbeeldingen op eindigdimensionale inproductruimten en orthonormale stelsels.

Laat $V=\mathbb{R}^2$ de inproductruimte zijn met het standaardinproduct en laat $W =\mathbb{R}^2$ de inproductruimte zijn met het inproduct $B$ gegeven door $B(\rv{x_1,y_1},\rv{x_2,y_2}) = 25 x_1\cdot y_1+ 9 x_2\cdot y_2$ Bepaal de matrix $L_{\varepsilon}$ van een lineaire isometrie $L:V\to W$ .

$L_{\varepsilon} =$ $\matrix{\frac{1}{5}&0\\ 0&\frac{1}{3}}$

Volgens stelling Lineaire isometrieën op eindigdimensionale inproductruimten en orthonormale stelsels moet $\basis{L(\vec{e}_1),L(\vec{e}_2})$ , waarbij ${\varepsilon} = \basis{\vec{e}_1,\vec{e}_2}$ de standaardbasis van $V$ is, een orthonormale basis voor $W$ zijn. Een voor de hand liggende orthonormale basis van $W$ is $\basis{\rv{\frac{1}{5},0}, \rv{0,\frac{1}{3} } }$ De matrix $L_{\varepsilon} = \matrix{\frac{1}{5}&0\\ 0&\frac{1}{3}}$ voert de standaardbasis van $V$ over in deze orthonormale basis van $W$ en is dus de matrix van een lineaire isometrie $V\to W$ .

Het antwoord is niet uniek. Elke matrixproduct van een goed antwoord met een orthogonale $(2\times2)$ -matrix van rechts is ook de matrix van een lineaire isometrie $V\to W$ .

Nieuw voorbeeld