Het begrip invariante deelruimte

Invariante deelruimten van lineaire afbeeldingen: Invariante deelruimten

Het begrip invariante deelruimte

De door de eigenvector van een lineaire afbeelding opgespannen lijn door de oorsprong wordt in zichzelf overgevoerd. Zulke vectorruimten heten invariant. Als er geen of onvoldoende eigenvectoren bestaan, zijn er misschien wel invariante deelruimten van dimensie groter dan $1$ . Denk bijvoorbeeld aan een rotatie om een rechte door de oorsprong in $\mathbb{R}^3$ , waar het vlak door de oorsprong loodrecht op de rotatieas zo'n invariante deelruimte is.

Zulke invariante deelruimten leiden ook tot eenvoudige matrixrepresentaties.

Laat $X$ een deelverzameling van een verzameling $V$ zijn en $G$ een afbeelding $V\rightarrow V$ .

Dan heet $X$ invariant onder $G$ als $G( \vec{x})\in X$ voor elke $\vec{x}\in X$ .

In dat geval liggen alle beelden $G (\vec{x})$ met $\vec{x}\in X$ weer in $X$ . Er bestaat dus een afbeelding $X\rightarrow X$ met hetzelfde afbeeldingsvoorschrift als $G$ . Deze afbeelding heet de beperking van $G$ tot $X$ . We noteren deze beperking wel als $\left. G\right|_X$ .

Functievoorbeelden Laat $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de afbeelding zijn met functievoorschrift $f(x) = x^2$ . Dan is de verzameling niet-negatieve getallen een deelverzameling van $\mathbb{R}$ die invariant is onder $f$ . Ook de puntverzameling $\{0\}$ en de intervallen $\ivco{1}{\infty}$ en $\ivco{0}{1}$ zijn invariante deelverzamelingen.

Laat $V$ een vectorruimte zijn en $L:V\to V$ een lineaire afbeelding.

De nulruimte $\ker{L}$ is invariant: als $\vec{x}\in\ker{L}$ , dan is $L (\vec{x})=\vec{0}$ en deze vector zit weer in $\ker{L}$ .
Het beeld $\im{L}$ is ook een invariante deelruimte: als $\vec{y}\in\im{L}$ , dan is $L( \vec{y})$ uiteraard weer in $\im{L}$ .
Als $\lambda$ een eigenwaarde van $L$ is, dan is de bijbehorende eigenruimte $E_\lambda$ invariant onder $L$ : als $\vec{z}\in E_\lambda$ , dan geldt $L( \vec{z})=\lambda \vec{z}\in E_\lambda$ omdat $E_\lambda$ een deelruimte van $V$ is.

De volgende observatie stelt ons in staat om veel invariante deelruimten van lineaire afbeeldingen te vinden.

Stel dat $L$ en $M$ beide lineaire afbeeldingen $V\to V$ zijn die met elkaar commuteren (dat wil zeggen, zodanig dat $L\, M = M\,L$ ). Dan zijn $\ker{M}$ en $\im{M}$ invariante deelruimten onder $L$ .

$\ker{M}$ : als $\vec{x}\in\ker{M}$ , dan is $M (L(\vec{x})) =M\, L(\vec{x}) =L\,M(\vec{x})=L(M(\vec{x})) =L(\vec{0}) =\vec{0}$ zodat $L(\vec{x})$ tot $\ker{M}$ behoort. Dit bewijst dat $\ker{M}$ invariant is onder $L$ .

$\im{M}$ : als $\vec{y}\in\im{M}$ , dan is er een vector $\vec{z}$ , zodat $\vec{y} = M(\vec{z})$ . Nu is $L(\vec{y}) =L(M(\vec{z}))=L\,M(\vec{z})=M\, L(\vec{z}) =M(L(\vec{z}))$ zodat $L(\vec{y})$ tot $\im{M}$ behoort. Dit bewijst dat $\im{M}$ invariant is onder $L$ .

We zullen dit resultaat toepassen met $M= p(L)$ voor een veelterm $p(x)$ die de karakteristieke veelterm $p_L(x)$ van $L$ deelt. Het geval $p(x) = (\lambda-x)^k$ , waarbij $\lambda$ een eigenwaarde van $L$ is en $k$ een natuurlijk getal kleiner dan of gelijk aan de multipliciteit van de wortel $\lambda$ van $p_L(x)$ , is een belangrijk voorbeeld.

Het geval $L=M$ is al behandeld als voorbeeld bij bovenstaande definitie Invariante deelverzameling onder het tabje Lineaire voorbeelden.

Het derde voorbeeld, van de eigenruimte $E_\lambda$ van $L$ voor een eigenwaarde $\lambda$ , is een speciaal geval, met $M=L-\lambda\,I_V$ , want $E_\lambda=\ker{M}$ .

Als $X$ een lineaire deelruimte is en $L$ een lineaire afbeelding, dan hoef je niet na te gaan dat alle vectoren van $X$ onder $L$ weer in $X$ terecht komen om vast te stellen dat $X$ invariant onder $L$ is:

Laat $L:V\rightarrow V$ een lineaire afbeelding zijn en stel $W=\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}$ . Deze deelruimte $W$ is dan en slechts dan invariant onder $L$ als $L( \vec{a}_i)\in W$ voor $i=1,\ldots,n$ .

Als $W$ invariant is, dan geldt $L( \vec{w})\in W$ voor alle $\vec{w}\in W$ . Kiezen we $\vec{w}=\vec{a}_i$ , dan vinden we $L( \vec{a}_i)\in\linspan{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n}$ voor $i=1,\ldots ,n$ .

Omgekeerd, stel $L( \vec{a}_i)\in W$ voor $i=1,\ldots,n$ en neem een willekeurige $\vec{w}\in W$ . Dan kan $\vec{w}$ geschreven worden als $\vec{w}=w_1\vec{a}_1+\cdots +w_n\vec{a}_n$ , zodat $L( \vec{w})=w_1 L( \vec{a}_1) +\cdots +w_n L( \vec{a}_n)$ . Omdat iedere vector $L( \vec{a}_i)$ in $W$ ligt, volgt hieruit dat $L( \vec{w})\in W$ .

Het volgt uit de stelling dat, als $\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}$ een basis is van de deelruimte $W$ , deze deelruimte dan en slechts dan invariant is onder $L$ als de rang van de matrix met kolommen $\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n,L(\vec{a}_1),\ldots,L(\vec{a}_n)$ gelijk is aan $n$ . Dit geeft een efficiënte methode om te bepalen of een deelruimte invariant is (of niet) onder een lineaire afbeelding.

Door een matrix van een lineaire afbeelding te kiezen ten opzichte van een basis die deels uit de basis van een invariante deelruimte bestaat, kunnen we er voor zorgen dat een aantal matrixelementen gelijk aan nul wordt:

Laat $L :V\rightarrow V$ lineair zijn en stel dat $\alpha=\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n}$ een basis is voor $V$ zodanig dat $W=\linspan{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_m}$ invariant is onder $L$ . Dan heeft de matrix $L_\alpha$ de vorm $L_\alpha = \matrix{B&*\\ 0 &*}$ waarin $0$ een deelmatrix met uitsluitend nullen aangeeft, elke $*$ een willekeurige matrix en $B$ de $(m\times m)$ -matrix van $\left.L\right|_W :W\rightarrow W$ ten opzichte van de basis $\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_m}$ .

Voor $i=1,\ldots,m$ geldt wegens de vorige stelling

$L( \vec{a}_i)=a_{i1}\vec{a}_1+\cdots +a_{im}\vec{a}_m+0\vec{a}_{m+1}+\cdots +0\vec{a}_n$ Hieruit volgt de bewering direct.

Bepaal of de lineaire deelruimte $U= \linspan{ \rv{1 , 0 , 0 , 1 },\rv{1 , 1 , -1 , 0 }}$ van $\mathbb{R}^4$ invariant is onder de lineaire afbeelding $A :\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ bepaald door de matrix $A = \matrix{4 & -11 & -5 & -4 \\ 6 & -12 & -3 & -8 \\ -5 & 10 & 2 & 6 \\ -2 & 2 & -1 & 4 \\ }$

Nee

De lineaire deelruimte $U$ is dan en slechts dan invariant onder $L_A$ als elk van de beelden van de opspannende vectoren van $U$ weer in $U$ liggen.

Om te bepalen of het beeld onder $L_A$ van een vector $\vec{v}$ tot $U$ behoort, gaan we na of de rang van de matrix waarvan de kolommen de opspannende vectoren van $U$ zijn, constant ( $2$ ) blijft als we de kolomvector $A\,\vec{v}$ toevoegen.

Voor $\vec{v}=\rv{1 , 0 , 0 , 1 }$ geldt $A\,\vec{v}= \rv{0 , -2 , 1 , 2 }$ . Voor de matrix met als kolommen de opspannende vectoren van $U$ aangevuld met de kolomvector voor $A\,\vec{v}$ vinden we dan
$\text{rang} \matrix{1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ } = 3$ Het beeld $A\,\vec{v}$ behoort dus niet tot $U$ .

We concluderen dat $U$ niet invariant is onder $L_A$ . Het antwoord is dus Nee.

Nieuw voorbeeld