Eerder hebben we gezien dat een getal #\lambda# dan en slechts dan een eigenwaarde van #L# is als #\det (L-\lambda \cdot I_V)=0#. Deze uitspraak kan nog aangescherpt worden met behulp van het begrip minimumveelterm.
Laat #L:V\to V# een lineaire afbeelding zijn van een eindigdimensionale vectorruimte #V# naar zichzelf. Een getal #\lambda# is dan en slechts dan een eigenwaarde van #L# als het een wortel is van de minimumveelterm van #L#.
Als #V# een reële vectorruimte is, dan zal de karakteristieke veelterm van #L# vanwege de Hoofdstelling van de algebra ontbinden in een product van lineaire veeltermen en kwadratische veeltermen met leidende coëfficiënt #1# en negatieve discriminant. Elk van deze kwadratische veeltermen zal ook voorkomen als deler van de minimumveelterm (niet noodzakelijk met dezelfde multipliciteit).
Als #\lambda# een wortel van de minimumveelterm is, dan ook van de karakteristieke veelterm (die immers een veelvoud van de minimumveelterm is), en dus, volgens uitspraak 1 van de Karakterisering van eigenwaarden en eigenvectoren, een eigenwaarde.
Andersom, als #\lambda# een eigenwaarde van #L# is bij eigenvector #\vec{v}#, dan geldt voor de minimumveelterm #m_L(x)#: \[\begin{array}{rcl}m_L(\lambda)\,\vec{v}&=&m_L(L)\,\vec{v} \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\lambda\,\vec{v} = L(\vec{v})}\\ &=&\vec{0}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{m_L(L)=0}\end{array}\]Omdat #\vec{v}# een eigenvector is, geldt #\vec{v}\ne\vec{0}#, zodat #m_L(\lambda) = 0#. Dit laat zien dat #\lambda# een wortel van de minimumveelterm is.
We bewijzen nog de laatste uitspraak. Stel dat #V# een reële vectorruimte is en dat #p(x)# een kwadratische veelterm met leidende coëfficiënt #1# en negatieve discriminant is die de karakteristieke veelterm van #L# deelt. Als #\lambda# een wortel van #p(x)# is, dan is #\lambda# niet reëel, en dus is de complex geconjugeerde #\overline{\lambda}# de tweede wortel van #p(x)#. Door toepassing van bovenstaande op de complexificatie van #V#, zien we dat zowel #x-\lambda# als #x-\overline{\lambda}# voorkomen als factoren van de minimumveelterm van #L# (de minimumveelterm van #L# op de complexificatie van #V# is gelijk aan de minimumveelterm van #L# op #V#). Omdat #\lambda\ne\overline{\lambda}#, is dan ook #p(x) = (x-\lambda) \cdot (x-\overline{\lambda})# een deler van de minimumveelterm.
Het verschil tussen de minimumveelterm en de karakteristieke veelterm is dus dat factoren die meer dan eens voorkomen in de karakteristieke veelterm minder vaak (met lagere multipliciteit) zouden kunnen voorkomen in de minimumveelterm. Onderstaande drie matrices illustreren dit.
\[ J_{1} = \matrix{0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0},\quad J_{2} = \matrix{0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0},\quad J_{3} = \matrix{0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0}\]
Alledrie hebben karakteristieke veelterm #x^3#. Maar
- #J_{1}# heeft minimumveelterm #x#,
- #J_{2}# heeft minimumveelterm #x^2#,
- #J_{3}# heeft minimumveelterm #x^3#.
Deze matrices zijn voorbeelden van matrices in Jordannormaalvorm, waar we later op in gaan.
We gebruiken de minimumveelterm voor de volgende karakterisering van diagonaliseerbaarheid.
Laat #V# een vectorruimte van eindige dimensie #n# zijn met basis #\alpha# en laat #L:V\to V# een lineaire afbeelding zijn.
- Als #V# een reële vectorruimte is, dan is #L# dan en slechts dan diagonaliseerbaar (over de reële getallen) als de minimumveelterm van #L# een product is van een constante en van lineaire factoren (met leidende coëfficiënt gelijk aan #1#) die alle onderling verschillen.
- Als #V# een reële vectorruimte is, dan is #L# dan en slechts dan diagonaliseerbaar over de complexe getallen als elke irreducibele factor van de minimumveelterm van #L# (geschreven met leidende coëfficiënt gelijk aan #1#) maar één keer voorkomt.
- Als #V# een complexe vectorruimte is, dan is #L# dan en slechts dan diagonaliseerbaar als de minimumveelterm van #L# geen dubbele wortels heeft.
Als #L_\alpha# een diagonaalmatrix is en #\lambda_1,\ldots\lambda_m# de onderlinge verschillende getallen op de diagonaal ervan zijn, dan is de minimumveelterm van #L_\alpha#, en dus van #L#, gelijk aan het product \[(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_m)\]
Andersom, als, voor onderlinge verschillende getallen #\lambda_1,\ldots\lambda_m#, de minimumveelterm van #L# gelijk is aan #m_L(x) = (x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_m)#, dan zijn deze getallen, vanwege bovenstaande stelling Wortels van de minimumveelterm eigenwaarden van #L#. Verder geldt, met #c_i =\prod_{j\ne i} \frac{1}{\lambda_i-\lambda_j}#,
\[1= \sum_{i=1}^m c_i \prod_{j\ne i}(x-\lambda_j)\]
Dit volgt uit het feit dat het rechter lid een veelterm van graad #m-1# is met de waarde #1# in #m# verschillende punten #x=\lambda_1,\ldots,\lambda_m# (zie de stelling van Lagrange).
We leiden hieruit af dat #V# de directe som van de eigenruimten \( E_i = \im{\prod_{j\ne i}(L-\lambda_j\cdot I_V)}\) is.
Om dit in te zien, vullen we eerst #L# in in bovenstaande formule, en laten we het resultaat op een willekeurige vector #\vec{v}# los:
\[\begin{array}{rcl} \vec{v} &=& I_V(\vec{v})\\ &=&\displaystyle\sum_{i=1}^m c_i \prod_{j\ne i}(L-\lambda_j\cdot I_V)(\vec{v})\\ &\in& E_1+\cdots+E_m\end{array}\]Dit laat zien dat #V# de som van de lineaire deelruimten #E_i# is.
Verder zien we dat
\[\begin{array}{rcl}(L-\lambda_i\cdot I_V )(E_i) &=&\displaystyle(L-\lambda_i\cdot I_V )\left( \im{\prod_{j\ne i}(L-\lambda_j\cdot I_V)}\right) \\&=&\displaystyle \im{\prod_{j}(L-\lambda_j\cdot I_V)}\\& = &\im{m_L(L)}\\& = &\im{0}\\ & =& \{\vec{0}\}\end{array}\] zodat #E_i# bevat is in #\ker{L-\lambda_i\cdot I_V}#.
Als we voor elke #i# een basis van #E_i# kiezen, dan is de vereniging van deze bases volgens stelling Onafhankelijkheid van eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden een lineair onafhankelijk stel, dat vanwege bovenstaande de ruimte #V# opspant. Daarom is deze vereniging een basis voor #V#. Dit laat zien dat #V# de directe som van de eigenruimten #E_i# is.
Hiermee zijn de eerste en de laatste uitspraak bewezen. De tweede uitspraak volgt door toepassing van dit resultaat op de complexificatie van #V#.
De matrix \[A = \matrix{1&1\\ 0&1}\] is niet diagonaliseerbaar. Want anders zouden er getallen #a# en #b# zijn, zodat #A# geconjugeerd is met #D=\matrix{a&0\\ 0&b}#. Maar dan geldt
\[\begin{array}{rclclclcl}a+b &=&\text{tr}(D) &=& \text{tr}(A)&=&1+1 &=& 2 \\ a\cdot b &=&\det( D) &=& \det(A) &=&1\cdot 1 -1\cdot 0 &=& 1 \end{array}\]Vullen we de gelijkheid #b = 2 - a#, die verkregen is uit de eerste vergelijking, in in de tweede vergelijking, dan krijgen we de vierkantsvergelijking #a^2-2 a+1=0#, die als enige oplossing #a =1 # heeft. Dit impliceert #b = 1#, zodat #D = I_2#, de identiteitsmatrix, is. Maar dat betekent dat er een inverteerbare #(2\times2)#-matrix #T# is met #A = T \,I_2T^{-1}=I_2 #. Dit is in tegenspraak met het feit dat het #(1,2)#-element van #A# gelijk is aan #1#.
In overeenstemming met de stelling heeft de minimumveelterm #(x-1)^2# van #A# een dubbele wortel.
- Een loodrechte projectie #P# op een deelruimte van een inproductruimte #V# voldoet aan de vergelijking #P^2=P#, en is dus diagonaliseerbaar.
- Een spiegeling #S# om een lineaire deelruimte van dimensie #n-1# in een #n#-dimensionale inproductruimte #V# voldoet aan de vergelijking #S^2 = I_V# en is dus diagonaliseerbaar.
Een bekend criterium voor het ontbreken van dubbele factoren in de ontbinding in factoren van een veelterm #f(x)# is\[\gcd(f(x),f'(x)) = 1\]Hier staat #\gcd# voor "grootste gemeenschappelijk deler". Met behulp van het Euclidisch algoritme voor veeltermen is deze grootste gemeenschappelijke deler efficiënt te bepalen. Dit leidt tot de volgende methode om diagonaliseerbaarheid van een vierkante matrix #A# te bepalen:
- Bepaal de minimumveelterm #m_A(x)# van #A#
- Bereken #\gcd(m_A(x),\frac{\dd}{\dd x}(m_A(x))) #.
- Als deze #\gcd# gelijk is aan #1#, dan is #A# diagonaliseerbaar over de complexe getallen. Als dat het geval is en #A# bovendien reëel is, dan is #A# dan en slechts dan diagonaliseerbaar over de reële getallen als alle wortels van #m_A(x)# reëel zijn.
Laat #V# een reële vectorruimte van dimensie #10# zijn en stel dat #L:V\to V# een lineaire afbeelding is met minimumveelterm
\[m_L(x ) =x^3-x^2-65 x-63 \] Is #L# diagonaliseerbaar over de reële getallen?
Ja
Om dit in te zien bepalen we de eigenwaarden van #L#. Enig proberen levert dat #-1# een wortel van \(m_L(x )\) is. Deling door #x+1# geeft de ontbinding in factoren
\[m_L(x ) = (x+1) \cdot ( x^2-2 x-63)\] De kwadratische factor ontbindt verder als #(x-9)\cdot (x+7)#, zodat de minimumveelterm drie verschillende reële wortels heeft. Volgens het eerste punt van de stelling
Herkenning van diagonaliseerbaarheid aan de hand van de minimumveelterm is het antwoord dus: Ja.
Diagonaliseerbaarheid en minimumveelterm
