Gegeneraliseerde eigenruimte

Invariante deelruimten van lineaire afbeeldingen: Invariante deelruimten

Gegeneraliseerde eigenruimte

We hebben gezien dat een lineaire afbeelding $L$ van een eindigdimensionale reële of complexe vectorruimte $V$ naar zichzelf niet altijd diagonaliseerbaar is, zelfs niet als $V$ complex is. Het probleem is dat de dimensie van de eigenruimte van $L$ met betrekking tot een wortel van de karakteristieke veelterm kleiner kan zijn dan de multipliciteit van die wortel in $p_L(x)$ . Denk aan $V = \mathbb{R}^2$ en $L=L_A$ voor $A=\matrix{0&1\\ 0&0}$ met karakteristieke veelterm $p_L(x) = x^2$ . De wortel $0$ heeft multipliciteit $2$ en de dimensie van de eigenruimte van $L$ bij eigenwaarde $0$ is $1$ .

We behandelen dit tweede probleem in twee stappen. Eerst wijzen we een invariante deelruimte van $V$ aan die groter kan zijn dan de eigenruimte bij een gegeven wortel $\lambda$ van de karakteristieke veelterm, maar waarop de beperking van $L$ tot die deelruimte een karakteristieke veelterm heeft die een macht van $x-\lambda$ is. Later geven we een basis voor die deelruimte aan waarop de restrictie van $L$ dicht bij een diagonaalvorm komt.

Laat $V$ een vectorruimte zijn, $L:V\to V$ een lineaire afbeelding, en $\lambda$ een eigenwaarde van $L$ . De gegeneraliseerde eigenruimte van $L$ met betrekking tot $\lambda$ is de deelruimte $E_\lambda^*$ bestaande uit alle vectoren $\vec{v}$ van $V$ waarvoor een natuurlijk getal $k$ bestaat, zodat $(L-\lambda\, I_V)^k(\vec{v}) = \vec{0}$ . Deze deelruimte is invariant onder $L$ .

Om na te gaan dat de gegeneraliseerde eigenruimte inderdaad een lineaire deelruimte van $V$ is, merken we eerst op dat $\vec{0}$ tot $E_\lambda^*$ behoort. Verder, als $\vec{v}$ in $E_\lambda^*$ ligt dan is er volgens de definitie een geheel getal $k$ zodat $(L-\lambda\, I_V)^k(\vec{v}) = \vec{0}$ . Als $\alpha$ een scalar is, dan geldt $(L-\lambda\, I_V)^k(\alpha \vec{v}) = \alpha (L-\lambda\, I_V)^k(\vec{v}) =\alpha\,\vec{0} = \vec{0}$ zodat ook $\alpha\, \vec{v}$ tot $E_\lambda^*$ behoort. Laat ten slotte $\vec{w}$ ook een vector in $E_\lambda^*$ zijn. Dan is er een natuurlijk getal $\ell$ , zodat $(L-\lambda\, I_V)^\ell(\vec{w}) = \vec{0}$ . Nu geldt voor $m=\max(k,\ell)$ $\begin{array}{rcl}(L-\lambda\, I_V)^m(\vec{v}+\vec{w})& =& (L-\lambda\, I_V)^m(\vec{v})+(L-\lambda\, I_V)^m(\vec{w})\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{(L-\lambda\, I_V)^m\text{ is een lineaire afbeelding}}\\& =& (L-\lambda\, I_V)^{m-k}(L-\lambda\, I_V)^{k}(\vec{v})+(L-\lambda\, I_V)^{m-\ell}(L-\lambda\, I_V)^{\ell}(\vec{w})\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{samenstelling van lineaire afbeeldingen herschreven}}\\ & =& (L-\lambda\, I_V)^{m-k}(\vec{0})+(L-\lambda\, I_V)^{m-\ell}(\vec{0})\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{ keuze van }k,\, \ell }\\ &=&\vec{0}+\vec{0} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{(L-\lambda\, I_V)^n\text{ is een lineaire afbeelding}}\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{voor alle }n\in\mathbb{N}\text{ inclusief }n=0}\\ &=& \vec{0}\end{array}$ waaruit volgt dat $\vec{v}+\vec{w}$ bevat is in $E_\lambda^*$ .

Hiermee is aangetoond dat $E_\lambda^*$ een lineaire deelruimte is van $V$ .

Om de invariantie van $E_\lambda^*$ onder $L$ te bewijzen, laten we $\vec{v}$ een willekeurige vector in $E_\lambda^*$ zijn, en tonen we aan dat $L(\vec{v})$ ook tot $E_\lambda^*$ behoort. Uit de definitie van $E_\lambda^*$ volgt dat er een natuurlijk getal $k$ is, zodat $(L - \lambda\, I_V)^k(\vec{v}) = \vec{0}$ . Dus $\vec{v}$ behoort tot $\ker{(L - \lambda\, I_V)^k}$ . Omdat $M = (L - \lambda\, I_V)^k$ met $L$ commuteert, kunnen we stelling Invariantie van kern en beeld onder commuterende lineaire afbeeldingen toepassen om te zien dat $\ker{M}$ invariant onder $L$ is, zodat $L(\vec{v})$ tot $E_\lambda^*$ behoort, zoals te bewijzen was.

Als $V = \mathbb{R}^2$ en $L=L_A$ voor $A=\matrix{0&1\\ 0&0}$ , dan is $0$ de enige wortel van de karakteristieke veelterm $p_L(x) = x^2$ . De eigenruimte $E_0$ van $L$ bij $0$ wordt opgespannen door de standaardbasisvector $\rv{1,0}$ en is dus een echte deelruimte van $V$ , maar de gegeneraliseerde eigenruimte $E_0^*$ van $L$ bij $0$ valt samen met $V$ .

In het eindigdimensionale geval is de dimensie van de gegeneraliseerde eigenruimte van $\lambda$ gelijk aan de multipliciteit van $\lambda$ in de karakteristieke veelterm van $L$ :

Stel dat $V$ een eindigdimensionale vectorruimte is en dat $L:V\to V$ een lineaire afbeelding is, zodat $\lambda$ een wortel is van de karakteristieke veelterm $p_L(x)$ .

Als $\lambda$ multipliciteit $\ell$ heeft in de minimumveelterm $m_L(x)$ , dan is $E_\lambda^* =\ker{(L-\lambda\, I_V)^{\ell}}$ .
Als $\lambda$ multipliciteit $k$ heeft in $p_L(x)$ , dan is $E_\lambda^* =\ker{(L-\lambda\, I_V)^k}$ en geldt $\dim{E_\lambda^*} = k$ .
Schrijf $e_i= \dim{\ker{L-\lambda\,I_V)^i}}$ zodat $e_\ell=k$ . De rij $e_1,e_2,e_3,\ldots,e_{\ell}$ is strikt stijgend.

Laat $\ell$ de multipliciteit van $\lambda$ in de minimumveelterm $m_L(x)$ zijn. Uit de definitie van gegeneraliseerde deelruimte is duidelijk dat $\ker{(L-\lambda\, I_V)^{\ell}}$ in $E_\lambda^*$ bevat is. Stel dat $\vec{w}$ een vector in $E_\lambda^*$ is. Dan is er een natuurlijk getal $m$ , zodat $\vec{w}$ tot $\ker{(L-\lambda\, I_V)^{m}}$ behoort. We laten zien dat we $m\le \ell$ kunnen kiezen. Stel $m\gt\ell$ . Omdat $\ell$ de multipliciteit van $\lambda$ in $m_L(x)$ is, kunnen we de minimumveelterm ontbinden als

$m_L(x) = (x-\lambda)^{\ell}\cdot c(x)$ waarbij $c(x)$ een veelterm is met $c(\lambda)\ne0$ . In het bijzonder geldt

$\gcd\left((x-\lambda)^m,m_L(x)\right) = (x-\lambda)^{\ell}$ Het uitgebreide algoritme van Euclides geeft veeltermen $a(x)$ en $b(x)$ die voldoen aan

$a(x)\cdot (x-\lambda)^m+b(x)\cdot m_L(x) = (x-\lambda)^{\ell}$ Vullen we $L$ in in alle veeltermen van deze gelijkheid, dan vinden we, dankzij het feit dat $m_L(L)=0$ ,

$a(L)\, (L-\lambda\,I_V)^m = (L-\lambda\,I_V)^{\ell}$

zodat uit $\vec{w}\in \ker{(L-\lambda\, I_V)^m}$ volgt $(L-\lambda\,I_V)^{\ell}(\vec{w}) = a(L)\left( (L-\lambda\,I_V)^m(\vec{w}) \right) = a(L)(\vec{0}) = \vec{0}$ Hieruit blijkt dat $\vec{w}$ tot $\ker{(L-\lambda\, I_V)^{\ell}}$ behoort, zodat $\ker{(L-\lambda\, I_V)^{\ell}}$ samenvalt met $E_\lambda^*$ . Dit bewijst de eerste uitspraak.

Omdat $k\ge \ell$ volgt de gelijkheid $E_\lambda^* =\ker{(L-\lambda\, I_V)^k}$ van de tweede uitspraak direct uit de eerste. We laten nog zien dat $\dim{E_\lambda^*} = k$ . Redenerend voor $k$ en $p_L(x)$ als hierboven voor $\ell$ en $m_L(x)$ vinden we een veelterm $d(x)$ met $d(\lambda)\ne0$ , zodat $p_L(x) = (x-\lambda)^k\cdot d(x)$ Volgens Invariante directe som hebben we de volgende directesomdecompositie van $V$ in deelruimten die invariant zijn onder $L$ : $V = \ker{(L-\lambda\,I_V)^k}\oplus \ker{d(L)}$ We hebben al gezien dat de eerste summand gelijk is aan $E_\lambda^*$ . Vanwege de stelling determinanten van enkele speciale matrices is de karakteristieke veelterm $p_L(x)$ het product van de karakteristieke veeltermen van $L$ beperkt tot elke summand. De karakteristieke veelterm van $L$ beperkt tot $E_\lambda^*$ heeft de vorm $(x-\lambda)^t$ , waarbij $t=\dim{E_\lambda^*}$ , omdat de minimumveelterm een deler van $(x-\lambda)^k$ is. Anderzijds is $x-\lambda$ geen deler van de karakteristieke veelterm van $L$ beperkt tot $\ker{d(L)}$ , want de bijbehorende minimumveelterm deelt $d(x)$ en $d(\lambda)\ne0$ . We concluderen dat $k=t$ , zodat $k=\dim{E_\lambda^*}$ .

Wat betreft de derde uitspraak: het is duidelijk dat $e_i\le e_{i+1}$ omdat $\ker{(L-\lambda\,I_V)^i}$ bevat is in $\ker{(L-\lambda\,I_V)^{i+1}}$ . Om te bewijzen dat $e_i\lt e_{i+1}$ als $i\lt\ell$ , veronderstellen we dat $e_i=e_{i+1}$ . We beweren dat hieruit volgt dat $e_i=e_{i+m}$ voor elk natuurlijk getal $m$ . Voor $m=1$ volgt dit uit de veronderstelling. We maken gebruik van volledige inductie om dit voor alle $m$ te bewijzen. Laat daartoe $m\gt 1$ en stel dat $e_i=e_{i+m-1}$ (dit is de inductiehypothese). Als $\vec{v}$ in $\ker{(L-\lambda\,I_V)^{i+m}}$ ligt, dan is $(L-\lambda\,I_V)^{i+m-1}\left((L-\lambda\,I_V)\vec{v}\right) = (L-\lambda\,I_V)^{i+m}(\vec{v})=\vec{0}$ zodat $\left(L-\lambda\,I_V\right)\vec{v}$ in $\ker{(L-\lambda\,I_V)^{i+m-1}}$ ligt. Omdat $e_i=e_{i+m-1}$ en $\ker{(L-\lambda\,I_V)^i}$ bevat is in $\ker{(L-\lambda\,I_V)^{i+m-1}}$ , geldt $\ker{(L-\lambda\,I_V)^i}=\ker{(L-\lambda\,I_V)^{i+m-1}}$ . Dit betekent dat $\left(L-\lambda\,I_V\right)\vec{v}$ in $\ker{\left(L-\lambda\,I_V\right)^i}$ ligt, zodat $\vec{v}$ in $\ker{\left(L-\lambda\,I_V\right)^{i+1}}$ ligt. Maar $\ker{\left(L-\lambda\,I_V\right)^{i+1}}= \ker{\left(L-\lambda\,I_V\right)^i}$ , dus $\vec{v}$ ligt zelfs in $\ker{\left(L-\lambda\,I_V\right)^i}$ . We hebben hiermee afgeleid dat $\ker{(L-\lambda\,I_V)^{i+m}} =\ker{\left(L-\lambda\,I_V\right)^i}$ , en dus $e_{i+m}=e_i$ .

Uit de net bewezen bewering volgt dat als $e_i=e_{i+1}$ , ook $e_m=e_i$ voor alle $m\gt i$ , zodat $e_i=e_\ell = \dim{E^*_\lambda}$ . Omdat $\ell$ het kleinste natuurlijke getal is dat voldoet aan $e_\ell= \dim{E^*_\lambda}$ , volgt dat $e_i=e_{i+1}$ alleen geldt voor $i\geq\ell$ en dus dat $e_1\lt e_2\lt \cdots\lt e_{\ell-1}\lt e_\ell$ , zoals te bewijzen was.

De strikt stijgende rij $e_1,e_2,e_3,\ldots,e_{\ell}$ laat zien dat

$\ker{L-\lambda\,I_V}\subset\ker{\left(L-\lambda\,I_V\right)^{2} }\subset\cdots\subset\ker{\left(L-\lambda\,I_V\right)^{\ell} }$

een rij van steeds groter wordende invariante deelruimten is. De eerste deelruimte is de eigenruimte van $L$ met betrekking tot $\lambda$ , de laatste deelruimte is de gegeneraliseerde eigenruimte $E_\lambda^*$ . In het bijzonder geldt $e_1\ge1$ en is $e_{\ell}$ de exponent van $\lambda - x$ in de karakteristieke veelterm van $L$ . De ongelijkheden suggereren een methode om de exponent $\ell$ van $x-\lambda$ in de minimumveelterm te berekenen: bepaal achtereenvolgens de getallen $e_i$ , voor $i=1,2,\ldots$ totdat $e_i=e_{i+1}$ . Dan is $i= \ell$ .

De getallen $e_i=\dim{\ker{L-\lambda\,I_V)^i}}$ hangen niet af van een basis voor $V$ . Met andere woorden, voor geconjugeerde $(n\times n)$ -matrices $A$ en $B$ zijn de getallen $\dim{\ker{(B-\lambda\cdot I_n)^i}}$ gelijk aan $\dim{\ker{(A-\lambda\cdot I_n)^i}}$ . Later zal blijken dat deze informatie de conjugatieklasse van $A$ uniek bepaalt; dat wil zeggen: als voor een $(n\times n)$ -matrix $B$ de waarden $\dim{\ker{(B-\lambda_i\cdot I_n)^{k_i}}}$ gelijk zijn aan $\dim{\ker{(A-\lambda_i\cdot I_n)^{k_i}}}$ voor alle eigenwaarden $\lambda_i$ met multipliciteit $k_i$ , dan zijn $A$ en $B$ geconjugeerd.

De multipliciteit van de eigenwaarde $\lambda$ als nulpunt van de karakteristieke veelterm, dat wil zeggen: bovenstaand getal $k$ , heet de algebraïsche multipliciteit van $\lambda$ in $L$ . De dimensie van $E_\lambda$ wordt vaak de meetkundige/geometrische multipliciteit van $\lambda$ in $L$ genoemd.

Bekijk de matrix $A = \matrix{4 & 1 & -2 & 1 \\ -1 & 4 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 }$ De karakteristieke veelterm van deze matrix is gelijk aan $\left(x-4\right)^2\cdot \left(x-3\right)^2$ . De eigenwaarden van $A$ zijn dus $3$ en $4$ .

Bepaal een basis voor de gegeneraliseerde eigenruimte van $A$ bij eigenwaarde $3$ .

$\text{basis voor }E_{3}^*=$ $\basis{ \matrix{-2 \\ -2 \\ -2 \\ 0 \\ } , \matrix{0 \\ 2 \\ 0 \\ -2 \\ } }$

Omdat de multipliciteit van $3$ in de karakteristieke veelterm gelijk is aan $2$ , is de gegeneraliseerde eigenruimte $E_{3}^*$ gelijk aan $\ker{(A-3 \,I_4)^{2}}$ .

De voor de hand liggende methode om een basis voor $\ker{(A-3 \,I_4)^{2}}$ te bepalen is de volgende: Door te kwadrateren vinden we

$(A-3 \,I_4)^{2} = \matrix{1 & 2 & -3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \\ }$ Vervolgens berekenen we de kern van deze lineaire afbeelding door het stelsel vergelijkingen $(A-3\,I_4)^{2} (\vec{x}) = \vec{0}$ op te lossen. Zo vinden we de volgende basis van $\ker{(A-3 \,I_4)^{2}}$ :
$\basis{ \matrix{-2 \\ -2 \\ -2 \\ 0 \\ } , \matrix{0 \\ 2 \\ 0 \\ -2 \\ } }$ We kunnen ook de stelling Invariante directe som gebruiken, die stelt dat de gevraagde basis ook een basis van $\im{(A-4 \,I_4)^2 }$ is. Deze deelruimte wordt opgespannen door de kolommen van de matrix $(A-4 \,I_4)^2 = \matrix{0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -2 & 2 \\ }$ Door uitdunning vinden we dat de volgende kolommen een basis voor $\ker{(A-3 \,I_4)^{2}}$ vormen: $\basis{\cv{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 } , \cv{ 1 \\ 3 \\ 1 \\ -2 } }$

Nieuw voorbeeld