Voordat we normaalvormen voor reële matrices behandelen die een karakteristieke veelterm hebben met niet-reële wortels, gaan we nader in op het uitbreiden van een reële vectorruimte naar een complexe en de vraag hoe de oorspronkelijke reële vectorruimte weer terug te vinden is uit de complex vectorruimte.
Laat een reële vectorruimte zijn. Bekijk de verzameling
bestaande uit alle vectoren van de vorm , waarbij en vectoren zijn van , en de optelling formeel is (dus ook gezien kan worden als het stel ). Dit is een complexe vectorruimte als het voorzien wordt van de volgende bewerkingen:
We noemen dit de uitbreiding van tot een complexe vectorruimte.
De afbeelding gedefinieerd door voor in heet complexe conjugatie. Deze afbeelding is halflineair / semi-lineair, wat betekent dat, voor alle complexe getallen en en alle vectoren en van geldt
waarbij de complex geconjugeerde van aangeeft.
Als een basis is voor , dan is ook een basis voor . In het bijzonder hebben en gelijke dimensie.
Als een reële -matrix is, dan is op te vatten als een lineaire afbeelding , waarbij of . In het geval is de afbeelding gelijk aan de afbeelding van het tweede geval. Er is dus weinig verwarring tussen de interpretatie van als een lineaire afbeelding met een reële vectorruimte als domein en als een lineaire afbeelding op een complexe vectorruimte.
Het feit dat semi-lineair is, volgt uit de volgende twee berekeningen, waarbij we en schrijven voor in :
Bij de term complexe conjugatie ligt verwarring op de loer: complexe conjugatie van de elementen van de matrix levert terwijl conjugatie over van een matrix van de vorm oplevert waarbij een inverteerbare -matrix is. De tweede bewerking noemen we daarom nadrukkelijk niet 'complexe conjugatie'. In het bijzondere geval waar de permutatiematrix is bij de permutatie , geven de twee bewerkingen voor bovenstaande matrix overigens hetzelfde resultaat.
Om een complexe vectorruimte als een reële ruimte te zien is geen uitbreiding nodig:
Een complexe vectorruimte is op te vatten als een reële vectorruimte door beperking van scalairen. Dit betekent dat we alleen de reële getallen van als scalairen zien. We schrijven om deze reële vectorruimte aan te geven.
Laat een reële vectorruimte zijn. Na beperking van scalairen voor wordt de semilineaire afbeelding complexe conjugatie een lineaire afbeelding met de eigenschap dat de eigenruimte van bij eigenwaarde is en de eigenruimte van bij eigenwaarde .
Als een basis is voor , dan is een basis voor . In het bijzonder is de dimensie van twee maal zo groot als de dimensie van .
Als we met een reële vectorruimte beginnen, de scalairen uitbreiden om te verkrijgen en we vervolgens de scalaire beperken, dan krijgen we de reële vectorruimte waar weliswaar een deelruimte van is, maar waarvan de dimensie tweemaal die van is. De vraag hoe we hieruit weer terug vinden, kan op verschillende manieren beantwoord worden. De uitspraak over geeft één methode: de minimumveelterm van is gelijk aan , zodat
De andere term in de directe som is .
Als , dan bepaalt een unieke lineaire afbeelding . Deze afbeelding commuteert met , zodat invariant is onder . Verder is de beperking van tot gelijk aan . Omdat de karakteristieke veelterm van een product van lineaire factoren is, kunnen we een basis voor vinden, zodat de matrix een Jordanvorm heeft. Met behulp van het reële deel en imaginaire deel van deze basis zullen we een basis van vinden zodat een vorm heeft die zeer dicht bij de bekende Jordannormaalvorm komt.
Bekijk de diagonaalmatrix waarbij een niet-reëel complex getal is en de complex geconjugeerde van is. Deze matrix is geconjugeerd met de reële matrix Dit volgt direct uit het feit dat de karakteristieke veeltermen van en van beide gelijk zijn aan , want twee -matrices met twee dezelfde (onderling verschillende) eigenwaarden zijn altijd geconjugeerd.
Als we van de matrix uitgaan, dan zullen we na bepaling van complexe eigenwaarden de diagonaalvorm vinden.
Andersom kunnen we, uitgaande van als hierboven, als volgt een reële matrix geconjugeerd met (zoals ) vinden: we zoeken een 2-dimensionale reële deelruimte van die door invariant gelaten wordt. Dit komt neer op het bepalen van een inverteerbare -matrix , zodat opgespannen wordt door de kolomvectoren en . De matrix van ten opzichte van de basis voor moet reële elementen hebben. Deze matrix is , zodat de complex geconjugeerde van deze matrix gelijk moet zijn aan . Verder is de complex geconjugeerde van geconjugeerd met via . Hiermee gaan we aan de slag om een oplossing te vinden voor :
Hiermee hebben we de conjugator gevonden die met conjugeert.
Zoals we later zullen zien, is het mogelijk om in elke conjugatieklasse van reële -matrices een unieke matrix te vinden, uitgaande van de complexe Jordannormaalvorm. Maar met de stelling hieronder is eenvoudig na te gaan wanneer twee reële -matrices geconjugeerd zijn, namelijk wanneer ze als complexe matrices geconjugeerd zijn.
Als twee reële -matrices geconjugeerd zijn over , dan zijn ze ook geconjugeerd over .
Stel dat twee -matrices en geconjugeerd zijn over . Dan is er een complexe inverteerbare matrix zodat . Na vermenigvuldiging van links met aan beide zijden geeft dit Schrijf , waarbij en het reële en imaginaire deel zijn van . Dan geldt dus
Het is dus voldoende om het bestaan van een reëel getal af te leiden waarvoor inverteerbaar is. Bekijk daartoe de determinant als functie van . Omdat en reëel zijn, is dit een veeltermfunctie van graad in met reële coëfficiënten. Aangezien inverteerbaar is, geldt zodat de veeltermfunctie niet de nulfunctie is. De veeltermfunctie heeft dus hoogstens nulpunten, zodat er een reële waarde van moet zijn, waarvoor , zodat een reële inverteerbare matrix is. Hiermee is het feit bewezen.
In het complexe geval weten we al dat twee -matrices dan en slechts dan geconjugeerd zijn als ze dezelfde Jordannormaalvorm hebben. De onderhavige stelling vertelt ons dat dit ook voldoende is om vast te stellen of twee reële -matrices geconjugeerd zijn. Het bewijs van de stelling laat zien hoe, als dit het geval is, een reële conjugerende matrix gevonden kan worden uitgaande van een complexe conjugerende matrix . Het vinden van de Jordanvorm bestaat uit het vinden van een geschikte basis voor ; de complexe conjugerende matrix bestaat uit de kolommen die bij die basis behoren.
Zo kunnen we voor elk tweetal -matrices bepalen of ze geconjugeerd zijn en zelfs een conjugerende matrix aanwijzen. De reële Jordanvorm van zo'n matrix, die we hierna behandelen, is (op permutatie van de Jordanblokken na) een unieke matrix uit de conjugatieklasse van .
Bekijk de -matrix De minimumveelterm van is gelijk aan de karakteristieke veelterm:
De wortels van deze veelterm zijn en . De bijbehorende eigenvectoren zijn respectievelijk en . De matrix is dus geconjugeerd met de complexe diagonaalmatrix De bijbehorende coördinatentransformatie is zodat .
De matrices en zijn niet-reëel. Als we , en opvatten als lineaire transformaties van , dan spannen de eigenvectoren (de kolommen van ) elk een invariante complexe deelruimte van op van dimensie . Door van de eerste eigenvector, , het reële en imaginaire deel te nemen, vinden we een basis voor de oorspronkelijke reële vectorruimte ten opzichte waarvan een reële matrix heeft. Bepaal die matrix.
Door beperking van scalairen kunnen we de lineaire afbeelding opvatten als lineaire afbeelding , waarbij .
Als basis voor kiezen we het reële en complexe deel van de eigenvector bij eigenwaarde :
De bijbehorende overgangsmatrix is . De matrix van ten opzichte van deze basis is
Als we met de eigenvector van werken in plaats van de eigenvector van , dan krijgen we de overgangsmatrix . De matrix van ten opzichte van de bijbehorende basis is
Zoals de notatie met de streep boven suggereert, is deze basis de complex geconjugeerde van de kolommen van .
De matrices en zijn geconjugeerd door middel van :
De matrices en zijn de reële -matrices ten opzichte van de basis die horen bij complexe vermenigvuldiging met respectievelijk en .