Eerder hebben we gezien dat een lineaire afbeelding , waarbij een eindigdimensionale vectorruimte is, bepaald wordt door een vierkante matrix. Zo'n matrix ligt uniek vast na keuze van een basis voor . Om eigenschappen van zo'n lineaire afbeelding vast te leggen met behulp van de matrix , moeten we dus kijken naar functies op vierkante matrices die niet van de basiskeuze afhangen, dat wil zeggen: die dezelfde waarde opleveren als we met werken in plaats van voor elke andere basis van . De rang is zo'n functie, maar het begrip karakteristieke veelterm leidt tot meerdere functies, zoals we later zullen zien.
Laat een -matrix zijn. Dan is een veelterm in van graad . Deze veelterm heet de karakteristieke veelterm van en geven we wel aan met .
Geef met het -element van aan.
- De leidende coëfficiënt van deze veelterm is .
- De coëfficiënt van is gelijk aan .
- De constante term is gelijk aan .
De som van de diagonaalelementen van heet het spoor van de matrix en wordt vaak aangegeven met .
De karakteristieke veelterm is de determinant
Deze determinant is de som van termen en iedere term bestaat uit een product van matrixelementen die zo gekozen worden dat uit iedere rij en iedere kolom precies één element afkomstig is. Iedere term in deze som is dus een veelterm in van graad hoogstens . Eén van de termen is:
Deze term correspondeert met de identieke permutatie van . Ieder van de overige termen bevat een factor met . In zo'n term komen de factoren en niet voor, omdat deze in dezelfde rij respectievelijk kolom staan als . In plaats daarvan komen factoren voor die elementen van buiten de diagonaal zijn, zodat zo'n term een veelterm van graad hoogstens is. De karakteristieke veelterm is dus een veelterm van graad van de gedaante
Dit laat zien dat de leidende coëfficiënt en de coëfficiënt van zijn zoals vermeld. De constante term vinden we door in te vullen. Dan wordt de veelterm gelijk aan .
De karakteristieke veelterm van een -matrix is gelijk aan , en is dus volledig bepaald door spoor en determinant.
De notatie voor het spoor van verwijst naar het Engelse woord trace.
De betekenis van deze karakteristieke veelterm is dat ze veel belangrijke eigenschappen van de bij behorende lineaire afbeelding helpt bepalen, zoals welke vectoren in een scalair veelvoud van zichzelf overgevoerd worden.
De oplossingen van de vergelijking die ontstaat door de karakteristieke veelterm gelijk aan te stellen, zijn een sleutel tot het bepalen van een eenvoudige matrixvorm van de lineaire afbeelding bepaald door . We zullen ze later tegenkomen onder de naam eigenwaarden.
De veeltermvergelijking met onbekende heet de karakteristieke vergelijking van .
- Het spoor van is de som van de complexe wortels van de karakteristieke vergelijking.
- De determinant van is het product van de complexe wortels van de karakteristieke vergelijking.
Laat de (complexe) wortels van de karakteristieke vergelijking zijn. Dan is de karakteristieke veelterm te schrijven als
- Vergelijking van de coëfficiënt van in deze uitdrukking en de bovenstaande formule voor de karakteristieke veelterm laat zien dat het spoor van is.
- Vergelijking van de constante term met de constante term in bovenstaande formule voor de karakteristieke veelterm laat zien dat de determinant van is.
Zoals we hierboven konden zien, is de karakteristieke veelterm van gelijk aan De abc-formule geeft de oplossingen van de karakteristieke vergelijking We zien dat, inderdaad, We gaan de drie gevallen na voor de oplossingen van een kwadratische vergelijking aan de hand van de discriminant .
- Als de discriminant positief is, zijn er twee verschillende reële wortels. Een voorbeeld is de diagonaalmatrix in welk geval de karakteristieke veelterm is, zodat de elementen en op de diagonaal de wortels van de karakteristieke vergelijking zijn.
- Als de discriminant gelijk aan is, dan vallen de wortels samen. We tellen deze wortel dan dubbel. Een voorbeeld is De karakteristieke vergelijking is dan , zodat de wortels beide gelijk aan zijn. Als we kiezen, dan is ongelijk aan de nulmatrix, terwijl de karakteristieke veelterm niet van die van de nulmatrix verschilt.
- Als de discriminant van de kwadratische vergelijking in negatief is, dan zijn de oplossingen complex. Bijvoorbeeld, de matrix van een draaiing over om de oorsprong in is De discriminant is hier gelijk aan en de oplossingen van de karakteristieke veelterm zijn complex:
Omdat de determinant van een driehoeksmatrix gelijk is aan het product van de diagonaalelementen, vormen deze diagonaalelementen de unieke oplossingen van de bijbehorende karakteristieke vergelijking. Immers, als een -driehoeksmatrix is, dan is dat ook, zodat de karakteristieke vergelijking gelijk is aan waarin de diagonaalelementen van zijn. Er is dan en slechts dan aan de karakteristieke vergelijking voldaan als gelijk is aan één van de diagonaalelementen.
Volgens de eerste stelling uit Determinanten van enkele speciale matrices is de determinant van een vierkante matrix van de vorm waarbij en vierkante deelmatrices zijn en een willekeurige deelmatrix van passende afmetingen, gelijk aan: Als een -matrix is, een -matrix en een -matrix, dan is de karakteristieke veelterm van dusDe oplossingen van de karakteristieke vergelijking van zijn dus gelijk aan de som van de oplossingen van de karakteristieke vergelijkingen van en .
De waarde is dan en slechts dan een oplossing van de karakteristieke vergelijking als . Voor is de andere oplossing dan gelijk aan . Bijvoorbeeld, de oplossingen van de karakteristieke vergelijking van de matrix zijn en .
Bepaal de karakteristieke veelterm van
We berekenen de karakteristieke veelterm aan de hand van de definitie: