Eerder hebben we gezien dat we het stelsel van \(m\) lineaire vergelijkingen met \(n\) onbekenden \(x_1, \ldots, x_n\)\[\left\{\;\begin{array}{llllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_1\\ \;\;\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_m\end{array}\right.\] in matrixnotatie kunnen schrijven als \[\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}b_1\\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix}\]
Het oplossen van het stelsel lineaire vergelijkingen is dan het vinden van een kolomvector \(x\) waarvan de vermenigvuldiging van links met de coëfficiëntenmatrix \(A\) de kolomvector \(b\) oplevert. Dit oplossen van een stelsel bij de gegeven coëfficiëntenmatrix \(A\) kun je natuurlijk voor meerdere kolomvectoren \(b\) tegelijk doen en bondig noteren door \(x\) en \(b\) door meerdere kolommen te vervangen, in feite dus door matrices \(X\) en \(B\).
Als #A# een #(m\times n)#-matrix is en #B# een #(m\times p)#-matrix, dan vat de lineaire matrixvergelijking met onbekende #(n\times p)#-matrix #X# \[ A\, X = B \] het probleem samen om alle stelsels lineaire vergelijkingen #A\,\vec{x}_j = \vec{b}_j# voor #j=1,\ldots,p#, waarbij #\vec{x}_j # de #j#-de kolom van #X# is en #\vec{b}_j # de #j#-de kolom van #B# tegelijk op te lossen. Dit probleem kan opgelost worden door
- de aangevulde matrix \(\left(A\,|\,B\right)\) op te stellen;
- de gereduceerde trapvorm van de aangevulde matrix uit te rekenen;
- de oplossing van #A\,\vec{x}_j = \vec{b}_j# is af te lezen zoals voor stelsels lineaire vergelijkingen na selectie van kolom #j# links en rechts van de verticale lijn.
In het bijzonder heeft de lineaire matrixvergelijking #A\, X = B# precies één oplossing als de rang van #A# gelijk is aan #n#.
Bekijk de lineaire matrixvergelijking \[\matrix{2&3\\ 3&5} X = \matrix{1&1\\ -1 & 1}\] De bijbehorende aangevulde matrix is \[\matrix{2&3&1&1\\ 3&5&-1&1} \] De gereduceerde trapvorm van deze matrix is \[\matrix{1&0&8&2\\ 0&1&-5&-1} \] Omdat links de identiteitsmatrix staat, vinden we rechts de unieke oplossing \[ X = \matrix{8 &2\\ -5&-1}\]
Laat #A = \matrix{1&0\\ 0&0}# en #B = \matrix{1&3\\ 2&0}#. Dan is de rang van de met de eerste kolom van #B# uitgebreide matrix #A# gelijk aan #2#, groter dan de rang van #A# (die gelijk is aan #1#). De matrixvergelijking heeft dus geen oplossing. De rang van de met de tweede kolom van #B# uitgebreide matrix #A# is gelijk aan #1#; het bijbehorende stelsel heeft dus wel een oplossing.
In het algemeen heeft #A# dan en slechts dan een oplossing als de rang van elke uitbreiding van #A# met een kolom van #B# gelijk is aan de rang van #A#.
We kunnen #X# voorstellen als een matrix die bestaat uit de kolommen #\vec{x}_j# voor #j=1,\ldots,p#en #B# als de matrix die bestaat uit de kolommen #\vec{b}_j# voor #j=1,\ldots,p#. Daarmee is de matrixvergelijking \(A\, X =B\) als volgt te beschrijven:
\[A\, \matrix{\vec{x}_1&\vec{x}_2&\cdots&\vec{x}_p} = \matrix{\vec{b}_1&\vec{b}_2&\cdots&\vec{b}_p}\]
We kunnen de matrixvermenigvuldiging in het linker lid nog herschrijven:
\[\matrix{A\, \vec{x}_1&A\, \vec{x}_2&\cdots&A\vec{x}_p} = \matrix{\vec{b}_1&\vec{b}_2&\cdots&\vec{b}_p}\]
Omdat deze gelijkheid dan en slechts dan geldt als, voor #j= 1,\ldots,p#, de #j#-de kolommen links en rechts gelijk zijn, is deze matrixvergelijking equivalent met \(A\vec{x}_j =\vec{b}_j\) voor #j= 1,\ldots,p#.
De laatste uitspraak volgt uit uitspraak 3 van Rang criteria voor het bestaan van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. Als de rang van #A# gelijk is aan #n#, dan geeft deze uitspraak immers dat elk van de stelsels \(A\vec{x}_j =\vec{b}_j\) een unieke oplossing heeft.
Omdat in het algemeen #A\,X\ne X\, A#, is de lineaire matrixvergelijking #X\, A = B# met onbekende #X# een ander probleem. Maar met transponeren is dit laatste probleem te herleiden tot het oorspronkelijke probleem:
Dankzij de regels voor transponeren is de vergelijking #X\, A = B# equivalent met #A^\top X^\top = B^\top#. Als #Y# de algemene oplossing van de vergelijking #A^\top Y = B^\top# is (die op te lossen is als besproken), dan is #X = Y^\top# de algemene oplossing van het nieuwe probleem.
Niet alleen stelsels lineaire vergelijkingen zijn als matrixvergelijkingen weer te geven, maar ook de rijbewerkingen die in Gauss-eliminatie een rol spelen kunnen geformuleerd worden in termen van matrixvermenigvuldiging:
De elementaire rijbewerkingen die gebruikt worden bij het oplossen van het stelsel lineaire vergelijkingen in matrixvorm #A\,x = b#, corresponderen met vermenigvuldiging van links met de volgende matrices, waarbij #E_{ij,\lambda}# (met #i\ne j#) de matrix is die op de plaats #\rv{i,j}# het getal #\lambda# heeft, op de hoofddiagonaal enen en verder overal nullen.
elementaire bewerking |
vermenigvuldiging van links met de matrix |
rij #i# met een getal #\lambda# ongelijk aan nul vermenigvuldigen
|
de diagonaalmatrix #D_{i,\lambda}# met #\lambda# op plaats #\rv{i,i}# en verder enen op de hoofddiagonaal |
een scalair veelvoud #\lambda# van rij #i# bij rij #j# optellen
|
#E_{ij,\lambda}# |
het verwisselen van de rijen #i# en #j#
|
de matrix #P_{(i,j)}# die overal nullen heeft behalve op de plaatsen #\rv{k,k}# voor #k\ne i# en #k\ne j# en op de plaatsen #\rv{i,j}# en #\rv{j,i}#, waar een #1# staat. |
Hier zijn voorbeelden van de drie gevallen voor een algemene #(3\times 3)#-matrix #A=(a_{ij})#:
\[\begin{array}{rcrcl} D_{2,\lambda}\,A &=&\matrix{1&0&0\\ 0&\lambda&0\\ 0&0&1}\, A&=&\matrix{a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\lambda a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}}\\ &&&&\phantom{x}\color{blue}{\text{rij }2\text{ met }\lambda\text{ vermenigvuldigd}}\\ E_{32,\lambda}\,A &=&\matrix{1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&\lambda&1}\, A&=&\matrix{a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}+\lambda a_{21}&a_{32}+\lambda a_{22}&a_{33}+\lambda a_{23}}\\&&&&\phantom{x}\color{blue}{\text{scalair veelvoud }\lambda\text{ van rij }2}\\&&&&\phantom{x}\color{blue}{\text{ bij rij }3\text{ opgeteld}}\\ P_{(2,3)}\,A &=&\matrix{1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0}\, A&=&\matrix{a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}}\\ &&&&\phantom{x}\color{blue}{\text{rij }2\text{ met rij }3\text{ verwisseld}}\\\end{array}\]
Bekijk de matrixvergelijking \[\matrix{a&b\\ c&d} \, X = I\] waarbij #a#, #b#, #c#, #d# getallen zijn, #X# is een onbekende #(2\times2)#-matrix is en #I# de identiteitsmatrix van dimensie #2# is.
We stellen de aangevulde matrix #\left(A\,|\,I\right)# op en passen elementaire rijbewerkingen toe, waarbij we#D = a\cdot d-b\cdot c# schrijven en voorlopig aannemen dat dat #a\ne0# en #D\ne0#:
\[\begin{array}{l|r|c|l}j& C_j&\text{aangevulde matrix}&\text{rijbewerking}\\ \hline 1&\matrix{ 1&0\\ -\frac{c}{a}&1}&\matrix{a&b& 1&0\\ 0&\frac{D}{a}&-\frac{c}{a}&1}&\color{blue}{R_2-\frac{c}{a}R_1}\\ 2&\matrix{ \frac{1}{a}&0\\ 0 &1}&\matrix{1&\frac{b}{a}& \frac{1}{a}&0\\ 0&\frac{D}{a}&-\frac{c}{a}&1}&\color{blue}{\frac{1}{a}R_1}\\ 3&\matrix{ 1&0\\ 0 &\frac{a}{D}}&\matrix{1&\frac{b}{a}& \frac{1}{a}&0\\ 0&1&-\frac{c}{D}&\frac{a}{D}}&\color{blue}{\frac{a}{D}R_2}\\ 4&\matrix{ 1&-\frac{b}{a}\\ 0 &1}&\matrix{1&0& \frac{d}{D}&-\frac{b}{D}\\ 0&1&-\frac{c}{D}&\frac{a}{D}}&\color{blue}{R_1-\frac{b}{a}R_2}\end{array}\]
De conclusie is dat \[X = \matrix{ \frac{d}{D}&-\frac{b}{D}\\ -\frac{c}{D}&\frac{a}{D}}=\frac{1}{D} \matrix{ d&-b\\ -c&a}\] Deze matrix is gelijk aan het product van de #C_j#:
\[C_4C_3C_2C_1 = \matrix{ 1&-\frac{b}{a}\\ 0 &1}\matrix{ 1&0\\ 0 &\frac{a}{D}}\matrix{ \frac{1}{a}&0\\ 0 &1}\matrix{ 1&0\\ -\frac{c}{a}&1}=\frac{1}{D} \matrix{ d&-b\\ -c&a}\]
Blijkbaar is de voorwaarde #D\ne0# noodzakelijk voor het bestaan van een oplossing, terwijl #a=0# toegestaan is.
Dankzij bovenstaande interpretatie van rijbewerkingen kunnen we het oplossen van de matrixvergelijking \(A\,X = B\) ook als volgt opvatten: vermenigvuldig beide leden van de vergelijking achtereenvolgens van links met matrices #C_1,\ldots,C_t# die corresponderen met de elementaire bewerkingen, zodat het linker lid #X# wordt (of een matrix die daar zo dicht mogelijk bij komt: gereduceerde trapvorm). In het speciale geval dat we voor het linker lid kunnen bereiken dat #C_t\,C_{t-1}\cdots C_1A X = X# wordt de vergelijking herleid tot de oplossing #X = C \,B#, waarbij #C =C_t\,C_{t-1}\cdots C_1#. In dit geval heet de matrix #A# inverteerbaar met inverse #C#. Daar zullen we hierna verder op ingaan.
Los onderstaande matrixvergelijking op, waarin de #(2\times2)#-matrix #X# de onbekende is.
\[X \matrix{0 & 1 \\ 1 & -3 \\ } = \matrix{1 & 3 \\ 2 & -1 \\ }\]
- Als er geen oplossing is, antwoord dan met #geen#.
- Als er wel een oplossing is, dan volstaat een enkele matrixoplossing.
#\matrix{6 & 1 \\ 5 & 2 \\ }#
Schrijf de gegeven vergelijking als #XA=B# en definieer #Y = X^{\top}#. Dan voldoet #Y# aan de vergelijking #A^{\top} Y = B^{\top}#, ofwel\[ \matrix{0 & 1 \\ 1 & -3 \\ } Y = \matrix{1 & 2 \\ 3 & -1 \\ }\]waarvan de oplossingsmethode bekend is. De bijbehorende aangevulde matrix is \[\matrix{0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & 3 & -1 \\ }\] De gereduceerde trapvorm van deze matrix is \[ \matrix{1 & 0 & 6 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ } \] Omdat links de identiteitsmatrix staat, vinden we rechts de unieke oplossing \[ Y = \matrix{6 & 5 \\ 1 & 2 \\ }\] zodat \[X = Y^{\top} = \matrix{6 & 1 \\ 5 & 2 \\ }\]