Stelsels met een parameter

Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices: Van stelsels naar matrices en rijreductie

Stelsels met een parameter

Tot nu toe hebben we alleen gekeken naar stelsels lineaire vergelijkingen waarin de coëfficiënten reële getallen zijn. Maar in de praktijk komen we regelmatig stelsels tegen waarin één of meerdere parameters in de coëfficiëntenmatrix en/of het rechter lid van een vergelijking staan.

Als we een dergelijk stelsel moeten oplossen, dan moeten we in feite dus oneindig veel stelsels tegelijk oplossen, namelijk een stelsel per waarde van de parameter(s). Voor veel parameters leveren rijoperaties in de Gauss-eliminatie gelijkwaardige stelsels op, maar regelmatig moeten we voor speciale parameterwaarden extra opletten dat we niet per ongeluk delen door nul. Gevalsonderscheid is dan niet te voorkomen.

We geven drie voorbeelden.

Onder welke voorwaarde(n) voor de parameters \(a\), \(b\) en \(c\) heeft het volgende stelsel met onbekenden \(x\), \(y\) en \(z\) een oplossing?
\[\eqs{x+2y-3z &=&a\\ 2x-\phantom{2}y+4z &=&b\\ 4x+3y-2z &=& c}\]

Onder de voorwaarde \(c=2a+b\)

De aangevulde matrix kunnen we ook met de parameters opschrijven \[\left(\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & -3 & a \\ 2 & -1 & 4 & b\\ 4 & 3 & -2 & c\end{array}\right)\] en we kunnen elementaire rijoperaties toepassen. \[\begin{array}{rcll} \left(\begin{array}{rrr|c}1 & 2 & -3 & a \\ 2 & -1 & 4 & b\\ 4 & 3 & -2 & c\end{array}\right) & \sim & \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 2 & -3 & a\\ 0 & -5 & 10 & b-2a \\ 0 & -5 & 10 & c-4a \end{array}\right) &\color{blue}{\begin{array}{r} \phantom{x}\\ R_2-2R_1\\ R_3-4R_1\end{array}}
\\ \\ &\sim & \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 2 & -3 & a\\ 0 & -5 & 10 & b-2a \\ 0 & 0 & 0 & c-b-2a \end{array}\right) &\color{blue}{\begin{array}{r} \phantom{x}\\ \phantom{x}\\ R_3- R_2\end{array}}\end{array}\] Nu de aangevulde matrix bij het stelsel in trapvorm gebracht is, zien we dat er geen oplossing is als \(c-b-2a\neq 0\). Het stelsel heeft alleen een oplossing onder de voorwaarde dat \(c-b-2a=0\) oftewel als \(c=2a+b\). In dit geval zal het stelsel oneindig veel oplossingen hebben.

Door de Gauss-eliminatie onder de voorwaarde dat \(c=2a+b\) voort te zetten, kunnen we ook een algemene oplossing vinden: \[\begin{array}{rcll} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 2 & -3 & a\\ 0 & -5 & 10 & b-2a \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \sim & \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 2 & -3 & a\\ 0 & 1 & -2 & \frac{2}{5}a-\frac{1}{5}b \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \color{blue}{\begin{array}{r} \phantom{x}\\ -\frac{1}{5}R_2\\ \phantom{x}\end{array}}\\ \\ &\sim & \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 0 & 1 & \frac{1}{5}a+\frac{2}{5}b\\ 0 & 1 & -2 & \frac{2}{5}a-\frac{1}{5}b \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) &\color{blue}{\begin{array}{r} R_1- 2R_2\\ \phantom{x}\\ \phantom{x} \end{array}}\end{array}\] Onder de voorwaarde \(c=2a+b\) is de algemene oplossing dus \[\cv{x\\y\\z} = \cv{\frac{1}{5}a+\frac{2}{5}b \\ \frac{2}{5}a-\frac{1}{5}b\\0} + r\cv{-1\\2\\1}\] met vrije parameter \(r\).

Nieuw voorbeeld