Als er bij een gegeven vierkante matrix \(A\) een matrix \(B\) bestaat zo dat \(A\,B=B\,A=I\), dan heet \(B\) de inverse van \(A\). De notatie hiervoor is \(A^{-1}\). In dit geval noemen we \(A\) inverteerbaar of regulier.
Als een matrix niet inverteerbaar is, dan spreken we ook wel van een singuliere matrix.
- Als \(A\, B = I\), dan is \(B\) de inverse van \(A\).
- Als \(B\, A = I\), dan is \(B\) de inverse van \(A\).
We spreken van de inverse en niet van een inverse omdat de inverse van een inverteerbare matrix uniek is. Stel maar dat zowel \(B\) als \(C\) vierkante matrices zijn die aan de voorwaarden voor een inverse van \(A\) voldoen: \[A\,B = B\,A= I\quad\text{en}\quad A\,C = C\,A = I\] Dan is \[ B = B\, I = B \,( A\, C) = (B\, A)\, C = I\, C=C\] zodat \(B = C\).
Later zullen we een eenvoudig bewijs geven dat, voor vierkante matrices met \(A\,B=I\), ook geldt dat \(B\,A=I\). Omdat matrixvermenigvuldiging niet commutatief is, is deze eigenschap niet vanzelfsprekend.
Het bewijs berust op de interpretatie van een #(m\times n)#-matrix #A# als een afbeelding die aan een kolomvector #x# van lengte #n# de kolomvector #A x# van lengte #m# toevoegt. Als #m=n# en #A\,B=I_n# voor een vierkante matrix #B#, dan is #B# injectief en dus (zoals we later zullen zien) surjectief, zodat er voor elke kolomvector #x# een kolomvector #y# is met #x = B y#. Hieruit volgt \[B\,A x = B\,A\,B y = By = x\]Omdat de matrix #B\, A# volledig bepaald is door de beelden op alle kolomvectoren van lengte #n#, geeft dit #B\, A = I_n#.
Net als het getal #0# heeft de (vierkante) nulmatrix \(O\) geen inverse: voor iedere \(B\) (met dezelfde afmetingen als #O#) geldt namelijk \(O\,B=B\,O=O\). Maar in tegenstelling tot het geval van reële getallen zijn er ook niet-inverteerbare matrices ongelijk aan de nulmatrix: Twee voorbeelden van singuliere matrices zijn\[\matrix{1 & 1\\ 1 & 1}\text{ en }\matrix{1 & 2\\ 2 & 4}\]
\(\matrix{-7 & -2 \\ 3 & 1 \\ }\) is de inverse van \(\matrix{-1 & -2 \\ 3 & 7 \\ }\).
Immers, \[\matrix{-1 & -2 \\ 3 & 7 \\ } \,\matrix{-7 & -2 \\ 3 & 1 \\ } = \matrix{1 & 0\\ 0 & 1}\] Reken dat zelf na.
Als #B\,A = I#, dan wordt #B# een linker inverse van #A# genoemd en als #A\,B = I#, dan wordt #B# een rechter inverse van #A# genoemd. De laatste twee uitspraken van de stelling beweren dus dat een linker inverse en een rechter inverse van #A# beide inverse van #A# zijn.
Hier zijn enkele rekenregels voor de inverse matrix.
- Laat \(A\) en \(B\) beide \((n\times n)\)-matrices zijn. Als \(A\) en \(B\) inverteerbaar zijn, dan is ook \(A\, B\) inverteerbaar, met inverse \[(A\, B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}\]
- Als \(A\) een inverteerbare matrix is, dan is de getransponeerde matrix \(A^{\top}\) dat ook, met inverse \[ \left(A^{\top}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\top}\]
De eerste regel volgt uit \[(A\,B)\,(B^{-1}A^{-1})=A\,(B\,B^{-1})\,A^{-1}=A\,(I\,A^{-1})=A\,A^{-1}=I \]
en net zo \((B^{-1}A^{-1})(A\,B)=I\).
De tweede regel is ook direct te verifiëren: \[\begin{aligned} A^{\top}\left(A^{-1}\right)^{\top} &=\left(A^{-1}A\right)^{\top}=I^{\top}=I\\ \\ \left(A^{-1}\right)^{\top} A^{\top} &=\left(A\,A^{-1}\right)^{\top}=I^{\top}=I\end{aligned}\]
Voor vierkante matrices van dimensie #2# hebben we een expliciete uitdrukking voor de inverse:
Als \(A=\matrix{a & b \\ c & d}\), dan is \(A\) dan en slechts dan inverteerbaar als \(a\,d-b\,c\neq 0\); in dit geval geldt \[A^{-1}=\frac{1}{a\,d-b\,c}\matrix{d & -b \\ -c & a}\]
De uitdrukking \(a\,d-b\,c\) heet de determinant van de matrix \(A=\matrix{a & b \\ c & d}\) en noteren we met \(\text{det}(A)\).
Om de inverse van de algemene \((2\times 2)\)-matrix \(A=\matrix{a & b \\ c & d}\) te bepalen moeten we op zoek naar scalairen \(p, q, r, s\) zodanig dat \[ \matrix{a & b \\ c & d} \matrix{p & q \\ r & s}= \matrix{1 & 0 \\ 0 & 1}\] Oftewel: \[ \matrix{a\,p+b\,r & a\,q +b\,s \\ c\,p+d\,r & c\,q +d\,s }= \matrix{1 & 0 \\ 0 & 1}\] We hebben dus te maken met twee stelsels vergelijkingen, elk met twee onbekenden, namelijk \[\lineqs{a\,p+b\,r\!\!\! &= 1 \\ c\,p+d\,r\!\!\! &= 0}\qquad \lineqs{a\,q+b\,s \!\!\! &= 1 \\ c\,q+d\,s \!\!\! &= 0}\] De bijpassende aangevulde matrices zijn \[\left(\begin{array}{rr|r} a & b & 1\\ c & d & 0\end{array}\right)\quad\text{en}\quad \left(\begin{array}{rr|r} a & b & 0\\ c & d & 1\end{array}\right)\] Met elementaire rijoperaties kunnen we de aangevulde matrices in trapvorm brengen: \[\left(\begin{array}{rr|r} a & b & 1\\ 0 & a\,d-b\,c & -c\end{array}\right)\quad\text{en}\quad \left(\begin{array}{rr|r} a & b & 0\\ 0 & a\,d-b\,c & a\end{array}\right)\] Merk op dat we links en rechts dezelfde rijoperaties toepassen. Er is alleen een oplossing precies dan als \(a\,d-b\,c\neq 0\), in welk geval de gereduceerde trapvorm de oplossing levert: \[\matrix{p & q \\ r & s}= \frac{1}{a\,d-b\,c}\matrix{d & -b \\ -c & a}\]
De stelling zegt dus dat de matrix #A# dan en slechts dan inverteerbaar is als \(\text{det}(A)\neq 0\). Later zal de determinant ook gedefinieerd worden als een function op vierkante matrices van grotere eindige dimensie. In stelling Inverteerbaarheid in termen van de determinant, zullen we zien dat de equivalentie tussen inverteerbaarheid van #A# en \(\text{det}(A)\neq 0\) blijft gelden.
Het vinden van de inverse van een matrix is te zien als het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen. Dit betekent dat we een methode hebben om haar te vinden:
Om te bepalen of de inverse van een \((n\times n)\)-matrix \(A\) bestaat en, zo ja, deze te berekenen, stellen we de \((n\times 2n)\)-matrix \((A\,|\,I)\) op: \[ (A\,|\,I)=\left(\begin{array}{cccc|cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & 1 & 0 &\cdots & 0\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & 0 & 1 &\ddots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & 0 & \cdots &\cdots & 1\end{array}\right)\] We reduceren deze aangevulde matrix tot gereduceerde trapvorm.
- Als de gereduceerde trapvorm de vorm \((I\,|\,B)\) heeft, dat wil zeggen dat links van de verticale streep een eenheidsmatrix is ontstaan, dan is de rang van #A# gelijk aan #n# en is \(A\) inverteerbaar met inverse \(A^{-1}=B\).
- Als de gereduceerde trapvorm niet van de vorm \((I\,|\,B)\) is, dat wil zeggen dat links van de verticale streep geen eenheidsmatrix is ontstaan, dan is de rang van #A# kleiner dan #n# en is \(A\) niet inverteerbaar.
Om de inverse \(X\) van de matrix \(A\) te bepalen moeten we de matrixvergelijking \(A\,X=I\) oplossen. In de theorie Matrixvergelijkingen hebben we gezien dat dit kan door reductie tot gereduceerde trapvorm van de matrix \(\left(A\,|\,I\right)\).
Merk voor de uitspraken over de rang op dat de rang van #A# dan en slechts dan gelijk is aan #n# als de gereduceerde trapvorm ervan (dat wil zeggen: de matrix links van de verticale streep) gelijk is aan de identiteitsmatrix #I#.
In het bijzonder is #A# dan en slechts dan inverteerbaar als de rang van #A# gelijk is aan #n#.
Is onderstaande matrix inverteerbaar?
\[
\matrix{
1 &2 & 3 \\
0 &16 &-20 \\
-1 &-2 &13}
\]
De matrix is inverteerbaar en de inverse is \[\matrix{\frac{21}{32}&-\frac{1}{8}&-\frac{11}{32}\\\frac{5}{64}&\frac{1}{16}&\frac{5}{64}\\\frac{1}{16}&0&\frac{1}{16}}\]
We breiden de matrix uit met een identiteitsmatrix. Rijreductie geeft daarna
\[\begin{aligned}\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&3&1 & 0 & 0 \\
0&16&-20&0 &1 &0\\
-1&-2&13&0 &0 &1\\
\end{array}
\right)&\sim
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 &2&3&1 & 0 & 0\\
0 &16&-20&0& 1 & 0 \\
0 &0&16&1& 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
&{\color{blue}{\begin{array}{ccc}
\mbox{}\\
\phantom{X}\\
R_3 +R_1
\end{array}}}\\
&\sim
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 &2&3 &1 & 0 & 0 \\
0 &1 &-\frac{5}{4}&0&\frac{1}{16} &0 \\
0 &0&16&1& 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
&{\color{blue}{\begin{array}{ccc}
\mbox{}\\
\frac{1}{16}R_2\\
\mbox{}
\end{array}}}\\
&\sim
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 &0 &\frac{11}{2}&1&-\frac{1}{8}&0 \\
0 &1 &-\frac{5}{4}&0&\frac{1}{16}&0 \\
0 &0 &16&1&0&1\\
\end{array}
\right)
&{\color{blue}{\begin{array}{ccc}
{}R_1 -2 R_2\\
\mbox{}\\
\phantom{X}
\end{array}}}\\
&\sim
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 &0 &\frac{11}{2}&1&-\frac{1}{8}&0\\
0 &1 &-\frac{5}{4}&0&\frac{1}{16}&0\\
0 &0 &1 &\frac{1}{16}&0&\frac{1}{16} \\
\end{array}
\right)
&{\color{blue}{\begin{array}{ccc}
{}\\
{}\\
\frac{1}{16}R_3
\end{array}}}\\
&\sim
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 &0 &0 &\frac{21}{32}&-\frac{1}{8}&-\frac{11}{32}\\
0 &1 &0 &\frac{5}{64}&\frac{1}{16}&\frac{5}{64}\\
0 &0 &1 &\frac{1}{16}&0&\frac{1}{16} \\
\end{array}
\right)
&{\color{blue}{\begin{array}{ccc}
{}R_1 -\frac{11}{2} R_3\\
R_2 +\frac{5}{4} R_3\\
{}
\end{array}}}
\end{aligned}
\] Uit de gereduceerde trapvorm volgt dat de gegeven matrix inverteerbaar is en kun je de inverse matrix aflezen (rechts van de identiteitsmatrix in de gereduceerde trapvorm).